代数学 A NO.7 要約

今日のテーマ《群の、部分群による左剰余類集合》 G を群、 H をその部分群とする。このとき、

• G に、次のようにして同値関係 ∼ が定まる。

x ∼ y ⇔ ある h ∈ H があって、 xh = y が成り立つ。

定理 7.1. G を群、 H をその部分群とする。このとき、 G に、次のようにして同値関係 ∼ が定まる。

x ∼ y ⇔ ある h ∈ H があって、 xh = y が成り立つ。

これからはこの同値関係には記号 x ∼ y の代わりに、

x ≡ y (mod H)

と書いて、《x は y と H を法として左合同である》と言う事にする。考えている部分群 H が明確なときには、 (mod H) を書くのは省略して良い。 x のクラス C(x) を x の H を法とする左剰余類と言う。

• 上のように決めた同値関係 ≡ (mod H) による G の商集合 G/ ≡ を G/H と書き、 G の H による左剰余類集合という。

例 7.1. (ℤ, +) をその部分群 nℤ で割ると、前回に説明した「拡張したチャンネルの集合」 X_{n} と同じものが得られる。

復習

1. 二面体群 𝔻_{n} とは、 a = (1 2 … n−1 n) とb = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & … & n − 1 & n \\ n & n − 1 & n − 2 & … & 2 & 1 \end{matrix})

とで生成される 𝔖_{n} の部分群である。

2. a, b は a^{n} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1} を満たす。

3. 𝔻_{n} の元は

e, a, a^{2}, a^{3}, …, a^{n−1}, b, ab, a^{2}b, a^{3}b, …, a^{n−1}b

の 2n 個ある。準備 𝔻_{n} の部分群として例えば次のものがある。 (この二つが全てではない。 )

1. a で生成される 𝔻_{n} の部分群 ⟨a⟩. これは n 個の元 e, a, a^{2}, …, a^{n−1} からなる巡回群である。

2. b で生成される 𝔻_{n} の部分群 ⟨b⟩. これは 2 個の元 e, b からなる巡回群である。

例 7.2. 二面体群 𝔻_{n} を部分群 H で割る。 (i) その部分群 H (ii) 𝔻_{n}/H の要素の数。

1. (i) ⟨a⟩ (ii) 二つ

2. (i) ⟨b⟩ (iii)n 個

定理 7.2. n は 1 より大きな整数であるとする。 1. 𝔖_{n} の部分集合 H_{n} を、

H_{n} = {f ∈ 𝔖_{n}; f(n) = n}

で定義すると、これは 𝔖_{n} の部分群であり、しかも 𝔖_{n−1} と同型である。

2. 𝔖_{n}/H_{n} は標準的に {1, 2, 3, 4, …, n} と同一視される。定理 7.3. G を群とし、 H をその部分群とする。このとき、

1. G の任意の元 g に対して、 g の H を法とする左剰余類 C(g) は

gH = {gh; h ∈ H}

と一致する。

2. C(g) (= gH) と H とは元の個数が等しい。

3. G の位数 |G| が有限ならば、 G/H の元の個数 #(G/H) と H の位数 |H| とはともに有限で、

|G| = #(G/H)|H|

が成り立つ。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) 元 a で生成される位数二十の有限巡回群 C_{20}(= ⟨a; a^{20} = e⟩) を考

えます。 a^{4} で生成される C_{20} の部分群 H の元をすべて書き出し、 G が、《H を法として左合同》と言う同値関係でどのように類別されるか、 C_{20} の元のクラス分けの表を作って示しなさい。特に、 C_{20}/H の元の個数はいくらか？

(II) 群 G とその部分群 H とが与えられたとします。 |H| と #(G/H)

とがともに有限ならば、 |G| も有限である事を示しなさい。 (III) 二面体群 𝔻_{12} = ⟨a, b; a^{12} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1}⟩ を考えます。

{a^{4}b, ab} で生成される C_{20} の部分群 H の元をすべて書き出し、 G が、《H を法として左合同》と言う同値関係でどのように類別されるか、 𝔻_{12} の元のクラス分けの表を作って示しなさい。特に、 𝔻_{12}/H の元の個数はいくらか？