代数学 A NO.10 要約

今日のテーマ落ち穂拾い (II) 準同型とその核の例今回は、群 G から群 H の準同型 f の例を 2,3 とりあげ、その核 N と G/N を具体的に計算してみる。

例 10.1. n を正の整数とする。 ℤ から C_{n} = ⟨a; a^{n} = e⟩ を、

f(k) = a^{k}

で定めると、 f は準同型である。 f の核は nℤ であり、 ℤ/nℤ は C_{n} と群として同一視できる。

例 10.2. n, m を正の整数とし、 n は m の倍数であるとする。 C_{n} = ⟨a; a^{n} = e⟩ から C_{m} = ⟨b; b^{m} = e⟩ への写像 f を、

f(a^{k}) = b^{k}

で定義する。このとき、 f は準同型写像である。 f の核は ⟨a^{m}⟩ となり、 C_{n}/ Ker(f) は C_{m} と群として同一視できる。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) 位数 8 の二面体群 𝔻_{4} = ⟨a, b; a^{4} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1}⟩ から

({±1}, ×) への写像 f を、

f(a^{k}b^{l}) = (−1)^{l} (k ∈ ℤ, l ∈ ℤ)

で定めると、これは準同型写像になります。 (証明不要) f のによって 𝔻_{4} をの 8 つの元が ±1 のどちらにうつるかを示す表を作り、さらに 𝔻_{4}/ Ker f のかけ算の表を作りなさい。

注意：前回の要約の番号がずれてました。 No.9 に直しておいてください。

一学期試験はコンピュータ持ち込み可です。但し、電源は部屋に準備しないので、各自バッテリのチェックは忘れないでください。また、ボリュームを下げる等の処置により、試験中に音がしないように留意してください。

●コンピュータがなくても困らないぐらいに多くの (選択) 問題を用意しますので、自信のない人は無理にコンピュータを使おうとする必要はありません。