代数学 A NO.10 要約

今日のテーマ準同型定理の証明と準同型定理の応用

定理 10.1 (群の準同型定理).群 G から別の群 H への準同型写像 ϕ : G → H が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

1. ϕ の像 Image ϕ は H の部分群である。

2. ϕ の核 N = Ker ϕ は G の正規部分群である。

3. 剰余群 G/N は Image ϕ と同型である。

(訂正)

第一回の準同型定理のステートメントでは、 N は G の部分群であるとだけ述べているが、実際には\underline{正規}部分群である。

証明は前回までの説明でほぼ終っている。

次に問題になるのは、準同型定理をいかに使いこなすか、ということである。

前回の話により、次のことは容易に理解できるだろう。 ● n, m は正の整数で、 n は m の倍数であるとする。このとき ℤ/nℤ から ℤ/mℤ への写像 f を、 f([k]_{n}) = [k]_{m} で定めると、これはうまく定義されていて、全射準同型写像になっている。 f の核 Ker(f) は mℤ/nℤ に一致する。ゆえに、準同型定理により、

(ℤ/nℤ)/(mℤ/nℤ) ≅ ℤ/mℤ

が成立することが分かる。

次の二つの例は少しひねった例である。 ●位数 2n の二面体群 𝔻_{n} = ⟨a, b; a^{n} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1}⟩ から ({±1}, ×) への写像 f を、

f(a^{k}b^{l}) = (−1)^{l} (k ∈ ℤ, l ∈ ℤ)

で定めると、これは全射準同型写像になり、 f の核は ⟨a⟩ = {a^{k}; k = 0, 1, …, n − 1} に一致する。ゆえに、 ⟨a⟩ は 𝔻_{n} の正規部分群であり、

𝔻_{n}/⟨a⟩ ≅ {±1}

が成立することがわかる。 ● p, q は互いに素な正の整数であるとする。写像 f : ℤ/pqℤ → ℤ/pℤ を、

f([x]_{pq}) = [qx]_{p}

で定義すると、 1. f はうまく定義されていて、準同型になる。

2. Ker(f) は qℤ/pqℤ と等しい。

3. f は全射である。ということが分かる。特に、性質 3. に着目すると次のことが導かれる。

定理 10.2. p, q は互いに素な整数であるとする。 (負の数でも良い。 ) このとき

ap + bq = 1

を満たす整数 a, b が存在する。

この定理は初等整数論においてしばしば用いられる定理で、見掛けはちょっと不思議な感じのする定理である。本講義でも以後二学期も含めて何度か取り上げることになるだろう。 ● m, n を正の整数とし、その最大公約数を d , m = m′d, n = n′d とする。このとき、 f : ℤ/mnℤ → ℤ/nℤ を、 f([x]_{mn}) = [mx]_{n} で定めると、

1. f はうまく定義されていて、準同型になる。

2. Ker(f) は n′ℤ/mnℤ と等しい。

3. f の像は dℤ/nℤ と等しい。

4. 準同型定理により f から誘導される写像は、

(ℤ/mnℤ)/(n′ℤ/mnℤ) ≅ (dℤ/nℤ) (([x]_{mn}のクラス)↦ [mx]_{n})

ということが分かる。

レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) ℤ/8ℤ から ℤ/20ℤ への写像 f を、 f([x]_{8}) = [12x]_{20} で与えたと

き、これがうまく定義されていることを示し、 f が準同型であること、および準同型定理により f から得られる同型を対応表を書く等の方法により求めなさい。

(II) 群 G から別の群 K への準同型 f が与えられていたとします。このとき、 G の任意の部分群 H について、以下のことが成り立つことを示しなさい。

(a) f を H に制限した物 f|_{H} はやはり準同型写像である。

(b) f_{H} の核は H ∩ Ker(f) である。

(c) H ∩ Ker(f) は H の正規部分群であり、 H/H ∩ Ker(f) から

K への単射が存在する。なお、この頃時間を守らずに出す人が余りにも目立つので、以後は

期限よりも遅れた人のレポートについては理由の如何を問わず成績の対象外とします。