代数学 A NO.1 補足

●写像の定義。

諸君の中には「式で表現されるものが写像」だと思っている人もいるようだが、それは間違いである。 f が集合 X から集合 Y への写像であるとは、 X の各元 x に対して Y の元 f(x) が (一義的に) 定まっている時に言う。「チェックポイント」は次の三つである。

1. X の\underline{全て}の元 x に対して、 f(x) が決まる。 (f(x) が x の式で表現されている必要は無い。 )

2. 各 f(x) は Y の元である。 (他にハミ出さない。 )

3. f(x) は x のとり方のみによって決まる。 (他の変数などの状況に

は一切依らない。 ) この三つがしっかり理解できれば、準同型定理の内容の半分は理解したと言っても過言ではないので、良く確かめて欲しい。

ものを考える上で、「自分の身近なものに置き換えて考える」ことはとても役に立つ。

例えば、写像をジュースの自動販売機に置き換えて考えてみる。お金のことはしばらく忘れて、自動販売機はボタンを押すと品物が出て来る機械であると考えよう。上の三条件は次のようなことに対応する。

1. 「どのボタンを押しても、必ず品物が出て来る。しかも、出て来るのは一つだけである。」

2. 「出て来るのは必ずジュースである。」 (タバコが出て来たりはしない。 )

3. 出て来る品物は押したボタンにのみ依る。 (買った日の天気、前の

人が買った品物などには依らない。 ) もしこれらの条件が満たされていなければ、あなたは自動販売機が「こわれている」と判断するだろう。このように、写像がうまく定義できているかどうかの基準を与えているのが上の 1.,2.,3. である。

レポート問題。 (講義中に出した問題の代わりにこの問題を解いても良い。 ) あなたの身近な話に置き換えることにより、上のような調子で写像の定義のポイント 1. 2. 3. を解説しなさい。

● S = {0, −4, 4} は足し算に関して群にならない。

実際、この S の元 4 と 4 をとると、この二つの和 8 はこの S の元ではない。定義に沿った言い方をすると、

S × S → S

が写像としてうまく定義されていない、 ((4, 4) の行き先が S の元ではない。 ) ということが問題なのだ。

このように、群の定義 (0)(演算がうまく定義されていること) はとても大切である。