代数学 A NO.2 補足

定理 2.1 の略証

1. e, e′ がともに G の単位元なら、 e = ee′ = e′.

2. y, y′ がともに x の逆元なら、 y = ye = y(xy′) = (yx)y′ = ey′ = y′.

3. xx^{−1} = x^{−1}x = e をよくよく見れば良い。

4. ab = cb の両辺に右から b^{−1} を掛けて、整理すれば良い。

5. (ab)(b^{−1}a^{−1}) と (b^{−1}a^{−1})(ab) をそれぞれ計算すれば良い。

6. 結合律を適当に用いれば良い。定理 2.2 の略証定理 2.1(6.) に注意しながら、場合に分ければいい。定理 2.3 の略証

1. H の単位元 e_{H} をとって来ると、 e_{H}e_{H} = e_{H}. この関係は G でも成り立つ ((∵) G と H の演算が同じだ)。この両辺に e_{H} の G での逆元を掛ければ e_{H} = e_{G} (G の単位元。 ) を得る。

2. h を H の元とし、 h の H での逆元を y と書くと、

hy = yh = e_{H}(= e_{G} (∵ 1.))

この関係はやはり G でも成り立つから、 y は h の G での逆元であることが分かる。

定理 2.4 の略証 H が G の部分群ならば、定理 2.3 で述べたことにより 1.,2.,3. が成り立つことが分かる。逆に、 H が G の部分集合で、 1.,2.,3. を満たすならば、 H は G の部分群であることは定義を見直せば簡単に分かる。

定理 2.5 の略証 H が ℤ の部分群であったとする。定理 2.3 により、 (ℤ, +) の単位元である 0 は H の元にもなっている。そこで、もし H = {0} ならば n = 0 とおけば良い。

H ≠ {0} ならば、 0 以外の H の元 h がある。定理 2.3 により、 −h も H の元であることが分かるから、 h か −h のどちらかを選ぶことにより、 H には正の元が少なくとも一つはあることが分かる。そこで、 H の正の元のうち、最小のものを n とおくことにする。

H = nℤ が言いたいことだ。