代数学 A NO.3 補足

定理 3.1 の証明 1. 𝒮 を、 M を含む G の部分群全体のなす集合とする。

まず、 𝒮 は空集合ではないことに注意しよう。実際、 G 自体は G の部分群であり、明らかに M を部分集合として含むから G ∈ 𝒮 である。

G の部分集合 H を、

H = ⋃_{K∈𝒮} K

により定義する。 H は G の部分群となり、 H ⊃ M が分かる。ゆえに、 H 自身も 𝒮 の元である。作り方から、 H が 𝒮 の最小のものであるのは明白である。

2.

m_{1}m_{2}m_{3}m_{4} … m_{k}(m_{i} ∈ M ∪ M^{−1}(i = 1, 2, …, k)

の形の元および単位元を全て集めて来た集合を S とおく。

⟨M⟩ の定義により、 M の各元は ⟨M⟩ の元である。 ⟨M⟩ が乗法、および逆元をとる演算について閉じていることから、 S の元は全て generatedM の元であることが分かる。すなわち、 S ⊂ ⟨M⟩.

他方、 S は乗法および逆元をとる演算について閉じていることことが容易に分かる。すなわち、 S は G の部分群である。しかも、 S は M を部分群として含むから、 ⟨M⟩ の最小性により、 S ⊃ ⟨M⟩ が分かる。

以上に述べた二つのことにより、 S = ⟨M⟩ が分かった。

定理 3.2 の証明

前定理の証明と同様である。