代数学 A NO.4 補足

定理 4.2 の証明

一般に、自然数 l, k に対して、

a^{l}([k]) = [k + l]

であることが容易に分かる。 (l > 0 の時は帰納法。 l = 0,l < 0 の時はそれぞれの定義に照らしてみれば良い。 ) これを使えばあとは簡単なので省略する。

定理 4.3 の証明

1. 講義では述べなかったが、 b を記述する際には、

b([k]) = [1 − k]

と考えた方が若干楽である。 (もちろん、こう考えていいのは [n−k+1] = [1 − k] が成り立つからである。 )

さて、任意の k ∈ ℤ に対して、

b^{2}([k]) = b([1 − k]) = [1 − (1 − k)] = [k]

が成り立つから、 b^{2} = e である。このことは、 b 自身が b の逆元であることも意味している。これに注意すると、 bab^{−1}([k]) = b(a(b^{−1}([k]))) = b(a([1−k])) = b([1−k+1]) = b([2−k]) = [1−(2−k)] = [k−1] = a^{−1}([k]) だから、 bab^{−1} = a^{−1} が成り立つことがわかった。

2. 1. と同様にしてもできるのだが、 1. を用いて、次のように議論することもできる。

まず、 bab^{−1} = a^{−1} の両辺を 2 乗して、

ba^{l}b−1 = a^{−l}

が任意の l について成り立つことを示す。 (l > 0 ,l = 0, l < 0 の各場合によって微妙に示しかたが異なるが、簡単であるから略する。 ) あとはこの式の両辺に左から a^{k}, 右から b をそれぞれ掛ければ良い。

3. S = {e, a, a^{2}, a^{3}, …, a^{n−1}, b, ab, a^{2}b, …, a^{n−1}b とおく。 2. を用いることにより、 S が乗法について閉じていること、及び、 S が逆元をとる操作について閉じていることが分かる。もちろん S は e を含んでいるから、 S は 𝔻_{n} の部分群である。すなわち、 (★) S は {a, b} を部分集合として含む 𝔻_{n} の部分群である。

他方、 {a, b} を部分集合として含む任意の 𝔻_{n} の部分群は S を含むことが容易に示されるから、

S は (★) を満たすものの中で最小である。すなわち、 S = ⟨a, b⟩