代数学 A NO.5 補足

定理 2.5 の証明

nℤ が ℤ の部分群であることは定義に照らせばすぐに分かる。 H が ℤ の部分群であったとする。定理 2.3 により、 (ℤ, +) の単位

元である 0 は H の元にもなっている。そこで、もし H = {0} ならば n = 0 とおけば良い。

H ≠ {0} ならば、 0 以外の H の元 h がある。定理 2.3 により、 −h も H の元であることが分かるから、 h か −h のどちらかを選ぶことにより、 H には正の元が少なくとも一つはあることが分かる。そこで、 H の正の元のうち、最小のものを n とおくことにする。

n ∈ H で、かつ H が加法について閉じていることから、 nm ∈ H (m = 1, 2, 3, …) (★) が成り立つ。また、 (★) と、 H が加法について逆元をとる操作について閉じていることとから、

nm ∈ H (m = −1, −2, −3, …)

が成り立つことが分かる。先に述べた通り、 0 も H の元であるから、 H は nℤ を部分集合として含む。 (… I)

つぎに、 H の任意の正の元 a をとって来た時、 a が H の元であることをしめそう。 a を n で割った商を q、あまりを r と書くことにすると、 a = nq + r (q, r ∈ ℤ, 0 ≤ r ≤ n − 1) (☆) が成り立つ。書き直すと、

r = a − nq.

ここで、 a ∈ H, n ∈ H ということを思い出すと、結局 r が H の元であることが結論される。ところが、 (☆) で、 r は n − 1 以下であることが分かっているから、 r = 0 でないと n のとり方に矛盾する。すなわち、

a = nq

となり、 a は nℤ の元であることが示された。

H の負の元 b に対しては、 a = −b に上の結果を用いることにより、 −b ∈ nℤ を得る。このことから b = −a もまた H の元である。以上により、 H の任意の元は nℤ の元でもあること、すなわち H ⊂ nℤ が分かった。 (… II)

(I),(II) により、 H = nℤ が証明された。注意：負の数を正の数で割る時にも、余りの範囲を適切に設定しておけば、 (☆) と同様の式を成り立たせるようにできる。そのように (あまりのでる) 割り算の意味を拡張しておけば、上の証明で H の元 a ないし b の正負による場合わけをした部分は必要がなくなる。