代数学 A NO.6 補足

(例) の解説

X_{n} から X_{n} への「写像」の問題である。

この例を考えるさい、 a, b, c, d が「チャンネル」の「並び方」を変えるか否かは問題ではない。各「チャンネル」の行き先がうまく定まっているかが主たる問題である。

1. [k] と [l] とが同じクラスとすると、 k − l = nt となる整数 t が存在する。 (ゆえに、 k = l + nt と表される。 ) k, l の a による行き先が同じかどうかが問題である。

a([k]) = a([l + nt]) = [l + nt + 1] = [l + 1] = a([l])

となり、たしかに a([k]) と a([l]) とは一致している。ゆえにこの a はうまく定義されている。

2. [k] と [l] とが同じクラスとすると、 k − l = nt となる整数 t が存在する。 (ゆえに、 k = l + nt と表される。 ) k, l の a による行き先が同じかどうかが問題である。

b([k]) = b([l + nt]) = [1 − (l + nt)] = [1 − l]

となり、たしかに b([k]) と b([l]) とは一致している。ゆえにこの b はうまく定義されている。

3. この例では k = −1 の行き先が [1/2] となっていて、これは X_{n} の元ではない。したがって、これは写像ではない。

4. この例は実は n が奇数か偶数かによって答えが分かれる。 n が奇数ならばこの d はうまく定義されていることが分かる。 (レポートの解説を参照のこと。 )

n が偶数の時にはどうなるのか、まず n = 4 の時に解説し、あとで一般の時の解説をつけることにしよう。 n = 4 のとき、 [0] と [4] とは同じものでなくてはならないはずだが、 d の行き先として指定されているものを計算してみると、

d([0]) = [0(0 + 1)/2] = [0], d([4]) = [4(4 + 1)/2] = [10]

となり、 (10 と 0 との差が 4 の倍数でないことから、 ) これら二つは別々のクラスである。ゆえに、 d は定義されていない。

話に完全を期すために、 n が一般の偶数の時にどうなるかを記しておこう。理解のまだ進んでいない人は、とりあえず下を読まずに上の例だけを理解するように心がけた方が良い。

さて、 X_{n} において、 [0] と [n] とは同じであるはずであるが、その d による行き先として指定されている [0] および [n(n + 1)/2] は一致しない。実際、 n(n + 1)/2 と 0 との差 n(n + 1)/2 を n で割ってみると、

(n(n + 1)/2)/n = (n + 1)/2

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となり、 (n が偶数であるから) これは整数にはならない。したがって d はうまく定義されていないことがわかるのである。