代数学 A NO.7 補足

定理 7.1 の証明

(i) [推移律] x, y, z ∈ G が、 x ∼ y, y ∼ z を満たしていたとする。このとき、定義により、

xh_{1} = y, yh_{2} = z

となる H の元 h_{1}, h_{2} が存在する。一番目の式を二番目の式に第入すると、

z = yh_{2} = (xh_{1})h_{2} = x(h_{1}h_{2})

を得る。 H は乗法について閉じているから、 h_{1}h_{2} は H の元である。すなわち、 x ∼ z が示されたことになる。 (ii)[反射律] x ∈ G を任意に取る。このとき、 H の単位元 e は、 G の単位元でもある (定理 2.3) ことから、

xe = x かつ e ∈ H

が成り立つ。すなわち、 x ∼ x. (iii)[対称律] x, y ∈ G が、 x ∼ y を満たしていたとする。このとき、定義により、

xh = y

を満たす H の元 h が存在する。上の式の両辺に右から h^{−1} を掛けると、

yh^{−1} = x

を得る。 H は逆元を取る操作について閉じているから、 h^{−1} も H の元である。ゆえに、 y ∼ x

以上により、 ∼ が同値関係であることが確かめられた。 [この証明で H が G の部分群であるための条件がうまく同値関係の条件に対応していることに注目してもらいたい。 ]

定理 7.2 の証明

1. 𝔖_{n} の元は {1, 2, …, n} の各元を {1, 2, …, n} のどれかの元に移すような全単射であり、 H_{n} とはそのような全単射の中で n を n に移すようなものを集めたものである。このようなものの全体が群をなすことは定義に照らせばすぐに分かる。

H_{n} の元を決めることは要するに {1, 2, …, n−1} の元を{1, 2, …, n− 1} のどれかの元に移すような全単射をあたえることと同等であるから、 H_{n} はそのような解釈のもとで 𝔖_{n−1} と同一視される。演算の定義もこの同一視で保たれるので、 H_{n} は 𝔖_{n−1} と同型である。

2. σ, τ ∈ 𝔖_{n} が H_{n} を法として合同かどうかは、結局 σ(n) = τ(n) かどうかで決まる。実際、

σ ≡ τ(modH_{n}) ⇔ τ^{−1}σ ∈ H_{n} ⇔ (τ^{−1}σ)(n) = n ⇔ σ(n) = τ(n)

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が成り立つからである。そこで、 𝔖_{n} のクラスわけは、 n をどこに移すかにしたがって、

𝔖_{n} = 1 組∪ 2 組∪ ⋯ ∪ (n − 1) 組∪ n 組

(但し、 k 組 = {σ; σ(n) = k} ) というふうに分かれることがわかる。定理 7.3 の証明

1. C(g) は、 g と同値なものを集めて来たものであるから、 C(g) = {x ∈ G; x ≡ g(modH)} = {x ∈ G; g = xh (∃h ∈ H)} = gH.

2. H から gH への写像 f を、

f(h) = gh

で定義する。 f が全射なのは gH の定義により明らかである。 f は単射でもあることを示そう。 x, y ∈ H, f(x) = f(y) とすると、 gx = gy. 両辺に左から g^{−1} を掛けて x = y を得る。よって f は単射である。

以上により、 H と gH との間に全単射 f が存在することが分かったので、 H と gH の元の個数は等しい。

3. |G| が有限であるとする。 H は G の部分集合だから、やはりその元の個数 H は有限である。また、 G/H は有限集合 G をクラスわけしたクラスの集合であるから、その元の個数は G の元の個数以下であり、とくに有限である。 G/H は、 G をクラスわけしたクラスの集合であるが、その各クラスには 2. で述べたようにちょうど |H| 個の元がある。そのようなクラスが #(G/H) 個あるわけだから、 G の元の数 |G| は総勢 #(G/H)|H| 個である。