代数学 A NO.8 補足

定義 8.1 の補足

一般に、 ghg^{−} のことを、 h の g による共役 (きょうやく) とよび、「任意の g ∈ G と任意の h ∈ K に対して、 ghg^{−1} ∈ K が成り立つ」ということを、《K は共役について閉じている》という。

定理 8.1 のステートメントの補足

ā, b̄ 等上に線を引いた記号はそれぞれ群 G の元 a, b 等の G/N でのクラスを表すとする。

定理 8.1 の証明

o) 乗法が代表元のとり方によらないこと。 a, b, x, y ∈ G, ā = x̄, b̄ = ȳ とする。《N を法とするクラス分け》の定義により、

x = am, y = bn (∃m, n ∈ N)

が成り立つ。

xy = ambn = ab(b^{−1}mb)n

と変形してみると、

1. b^{−1} ∈ G, m ∈ N で、 N は G の正規部分群であるから、 b^{−1}mb(= b^{−1}m(b^{−1})^{−1}) ∈ N がわかる。

2. 1. と、 N が G の部分群であることから、 b^{−1}mbn ∈ N がわかる。結局、

xy = ab × (N の元)

ということになって、 xy と ab とは N を法として合同である。言い替えると、

\overline{ab} = \overline{xy}

が成り立つ。これは、乗法が代表元のとり方によらないことを示している。

i) 結合律 ā, b̄, c̄ ∈ G/N をとる。 (もちろん a, b, c ∈ G である。 )

(āb̄)c̄ = \overline{ab}c̄ = \overline{(ab)c}
ā(b̄c̄) = ā\overline{bc} = \overline{a(bc)}

もちろん、 G のなかでは結合律が成り立つから、上の二つの式の右端は相等しい。ゆえに、 (āb̄)c̄ = ā(b̄c̄) がなりたつ。

ii) 単位元の存在。 G/N の単位元は ē (e は G の単位元) である。実際、任意の ā ∈ G/N に対して、

āē = \overline{ae} = ā, ēā = \overline{ea} = ā

が成り立つ。

2 代数学 A NO.8

iii) 逆元の存在。 ā ∈ G/N にたいし、その逆元は\overline{a^{−1}} で与えられる。実際、

\overline{a}\overline{a^{−1}} = \overline{aa^{−1}} = \overline{e}, \overline{a^{−1}}\overline{a} = \overline{a^{−1}a} = \overline{e}

が成り立つ。

定理 8.2 の証明

対称性により、 (1) から (2) を示せば十分である。 (1) を仮定しよう。 y = xn (∃n ∈ N). これを次のように変形してみよう。

y = xn = xnx^{−1}x

N が G の正規部分群であることから、 xnx^{−1} は N の元であることが分かる。この xnx^{−1} を y とおいてやれば良い。