代数学 A NO.9 補足

定理 9.1 の証明

1. e_{G}e_{G} = e_{G} の両辺を f で送ると、

f(e_{G}e_{G}) = f(e_{G})

を得る。 f は準同型であるから、 f(e_{G}e_{G}) = f(e_{G})f(e_{G}). ゆえに

f(e_{G})^{2} = f(e_{G})

をえる。両辺に (どっちからかけても同じだが例えば右から、 ) f(e_{G})^{−1} をかけると f(e_{G}) = e_{H} を得る。

(注意): なぜ e_{G} が単位元であるための条件

e_{G}x = x, xe_{G} = x (∀x ∈ G) (＊)

をそのまま使わないのかいぶかる人もいるも知れない。実際そのようなラインの証明も可能である。但しここの証明に (＊) を用いるには \underline{G の元が少なくとも一つ存在すること}に注意を払わなくてはならず、それには結局 e_{G} ∈ G に戻らなければならないのだ。それならば最初から x として e_{G} を採用した方が楽、ということになる。

(注意 2): ここでは G の単位元と H の単位元の区別に特別の注意を払うために、 e_{G}, e_{H} などと書いたが、以下ではどちらも単に e とかくことにする。間違えそうな人や、原理主義者のひと (笑) は適宜読み変えて頂きたい。

2. gg^{−1} = e, g^{−1}g = e のそれぞれの両辺を f で送ると、

f(gg^{−1}) = f(e), f(g^{−1}g) = f(e)

をえる。 f は準同型写像であるということを使うと、

f(g)f(g^{−1}) = f(e), f(g^{−1})f(g) = f(e)

さらに 1. により f(e) = e ということを思い出すと、

f(g)f(g^{−1}) = e, f(g^{−1})f(g) = e

これは結局 f(g^{−1}) が f(g) の逆元であることを示している。

3. n = 1 のときは当り前。 n = 0 のときは 1. で証明した。 n = −1 のときは 2. で証明した。 n = 2 のときは

f(g^{2}) = f(gg) = f(g)f(g) = f(g)^{2}

と証明できる。後は同様である。定理 9.2 の証明 1.

(i) x, y ∈ Ker(f) を任意にとって来る。このとき、

f(xy) = f(x)f(y) = ee = e

が成り立つので、 xy ∈ Ker(f). すなわち、 Ker(f) はかけ算について閉じている。

2 代数学 A NO.9

(ii) 定理 9.1 の 1. により、 e は Ker(f) の元であることが分かる。 (iii) x ∈ Ker(f) を任意にとって来る。このとき、定理 9.1 の 2. を使

うと、

f(x^{−1}) = (f(x))^{−1} = e^{−1} = e

が分かるので、 x^{−1} ∈ Ker(f). すなわち Ker(f) は逆元をとる操作について閉じている。

(i),(ii),(iii) により、 Ker(f) は G の部分群であることが分かった。つぎに任意の g ∈ G と、 x ∈ Ker(f) とに対し、

f(gxg^{−1}) = f(g)f(x)f(g)^{−1} = f(g)ef(g)^{−1} = e

が成り立つので、 gxg^{−1} ∈ Ker(f) が分かる。すなわち Ker(f) は共役をとる操作について閉じており、 G の正規部分群であることが証明された。

2.

f(g_{1}) = f(g_{2})

⇔f(g_{1})^{−1}f(g_{2}) = e

⇔f(g_{1}^{−1}g_{2}) = e (f : 準同型)

⇔g_{1}^{−1}g_{2} ∈ Ker(f) (Ker(f) の定義)

⇔g_{1} ≡ g_{2} (mod Ker(f)) (《 Ker(f) を法として合同》の定義 )