代数学 A NO.11 補足

定理 11.1(準同型定理) の証明 1. (Image ϕ が演算について閉じていること) p, q ∈ Image ϕ を任意に

とってくる。 Image の定義により、

p = ϕ(x), q = ϕ(y)

をみたす x, y ∈ G が存在する。

pq = ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(xy) ∈ Image ϕ

だから、 Image ϕ は乗法について閉じていることが分かる。 (単位元の存在) 定理 9.1 の 1.

ϕ(e_{G}) = e_{H}

から、 e_{H} ∈ Image ϕ が分かる。

(逆元の存在) p ∈ Image ϕ を任意にとってくる。 Image の定義により、 p = ϕ(x) をみたす x ∈ G が存在する。定理 9.1 の 2 を用いると、

ϕ(x)^{−1} = ϕ(x^{−1}) ∈ Image ϕ

がわかる。すなわち Image ϕ は逆元をとる操作について閉じている。以上により、 Image ϕ は H の部分群であることが分かった。

2. 既出 (定理 9.2)

3. G/N から H への写像 f を、

f([g]) = ϕ(g)

で定義する。 i) この定義は代表元のとり方によらない。実際、 g_{1}, g_{2} ∈ G が [g_{1}] = [g_{2}] を満たすとすると、定理 9.2 の 2. に

より、 ϕ(g_{1}) = ϕ(g_{2}) であることが分かる。 ii)f はその値を Image ϕ のなかにとる (はみださない。 ) これは定義から明白である。 iii) i),ii) により、\underline{f は写像としてうまく定義されている}ことが分か

る。 iv) f は準同型である。実際、 [x], [y] ∈ G/N (x, y ∈ G) にたいし、

f([x][y]) = f([xy]) = ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = f([x])f([y])

が成り立つ。

v) f は全射である。これは Image ϕ の定義と f の定義に照らせば明らかである。

vi) f は単射である。実際、定理 9.2 の 2 に注意すると、

f([x]) = f([y]) ⟹ ϕ(x) = ϕ(y) ⟹ [x] = [y]

が分かる。

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vi),v) により、 f は群 G/N と群 Image ϕ との間の同型を与えることが分かった。 (この f のことを、 ϕ から準同型定理により誘導される同型ということがある。 )

定理 10.2 の証明

この定理を p > 0, q > のときに証明しておけば、 p, q が正とは限らないときでも容易に証明できるから、以下 p > 0, q > 0 と仮定する。本文にもあるように、

f : ℤ/pqℤ ∋ [x]_{pq} ↦ [qx]_{p} ∈ ℤ/pℤ

は全射であることが分かるから、特に f([x]) = [1] となる x ∈ ℤ が存在する。 f([x]) = [1] ⟹ [qx]_{p} = [1]_{p} ⟹ qx−1 ∈ pℤ ⟹ qx−1 = py (∃y ∈ Z) あとは a = −y, b = x とおけば良い。