代数学 A NO.12 補足

定理 12.1 の証明

ℤ から ℤ/mℤ × ℤ/nℤ への写像 f を、

f(x) = ([x]_{m}, [x]_{n})

で定義する。 f が準同型写像であることはすぐに分かる。 f の核を求めよう。 x ∈ Ker(f)⇔([x]_{m} = [0]_{m} and [x]_{n} = [0]_{n})⇔(x ∈ mℤ and x ∈ nℤ)⇔x ∈ mnℤ であるから、 Ker(f) = mnℤ である。準同型定理により、 ℤ/mnℤ から ℤ/mℤ × ℤ/nℤ への単射準同型 f̄ が

f̄([x]_{mn}) = ([x]_{m}, [x]_{n})

により定義されることがわかるが、 ℤ/mnℤ, ℤ/mℤ × ℤ/nℤ の位数をそれぞれ勘定することにより、この単射は全射でもあることが分かる。すなわち、 f̄ は同型である。

系 12.1 の証明

定理 12.1 (の証明) で、とくに f̄ が全射であることを用いると、

f̄([x]) = ([1], [0])

となる x ∈ ℤ が存在することが分かる。上の関係式を書き直すと、

x − 1 ∈ mℤ, x ∈ nℤ

となり、 x − 1 = mα, x = nβ を満たす整数 α, β の存在が分かる。 x を消去すると、

nβ − 1 = mα

このことから直ちに系が証明できる。