代数学演習 I 問題 NO.4

環の準同型、イデアルの定義編 (2)

問題 4.1. ℂ から ℂ への準同型写像

ϕ : z ↦ z̄(z の複素共役)

は環としての準同型写像であることを示しなさい。

問題 4.2. 1. 環の準同型写像が単射であるための必要十分条件はそ

の核が 0 であることであることを示しなさい。

2. 体から環への環準同型写像は必ず単射であることを示しなさい。

問題 4.3. 写像 ϕ : ℂ → M_{2}(ℝ) を、

z = a + b\sqrt{−1} ↦ (\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}) (a, b は実数)

で定義します。このとき、 1. ϕ は環としての準同型写像であることを示しなさい。

2. det(ϕ(z)) と |z| との関係を言いなさい。

問題 4.4. R を単位元を持つ整域とします。このとき、 1. R の上の多項式環 R[X] の 0 でない元 f(X), g(X) について、

deg(fg) = deg(f) + deg(g)

がなり立つことを示しなさい。

2. R[X] は整域であることを示しなさい。

問題 4.5. M_{n}(ℂ) の部分集合

ℍ = \{(\begin{matrix}z & −w̄ \\ w & z̄ \end{matrix}); z, w ∈ ℂ\}

は斜体 (単位元を持つ非可換環で、 0 以外の全ての元が可逆。非可換体とも言う) になることを示しなさい。

問題 4.6. [0, 1] 上の連続関数全体のなす環 R = C([0, 1]) は整域でないことを示しなさい。

問題 4.7. [0, 1] 上の連続関数全体のなす環 R = C([0, 1]) の次の部分集合は R の部分環あるいはイデアルになりますか？

1. S_{1} = {f ∈ R; f(1) = 1}

2. S_{2} = {f ∈ R : ∃c ∈ ℂ があって f(x) = c がすべての x ∈ [0, 1] に対して成り立つ } 3. S_{3} = {f ∈ R : ∃c ∈ ℂ があって f(x) = c がすべての x ∈ [0, 1/2] に対して成り立つ } 4. S_{4} = {f ∈ R : f(x) = 0 がすべての x ∈ [0, 1/2] に対して成り立つ}

問題 4.8. 1. a を任意の整数としたとき、

aℤ = {an; n ∈ ℤ}

は ℤ のイデアルであることを示しなさい。

2. f(X) を任意の複素係数の多項式としたとき、

fℂ[X] = {fg; g ∈ ℂ[X]}

は ℂ[X] のイデアルであることを示しなさい。問題 4.9. ℤ[X] から ℤ への写像 f を、

f : ℤ[X] ∋ p ↦ p(5) ∈ ℤ

で定義する時、これが環の準同型写像であることを示し、その核と像を求めなさい。

問題 4.10. ℚ から ℝ への環としての準同型はただ一つしかないことを示しなさい。

問題 4.11. 問題 4.5 の斜体 ℍ からそれ自身への準同型の例をあげなさい。ただし恒等写像は除きます。