代数学演習 I 問題 NO.5

イデアルの例とイデアルによる剰余環編

問題 5.1. I を ℤ のイデアルとします。この時、

1. a, b が I の元で、 a が正の数ならば、 b を a で割った余り r も I の元であることを示しなさい。

2. I = 0 のときを除くと、 I の元の中で正で最小のものが存在します。これを a_{0} とおくと、 I の任意の元は a_{0} で割り切れることを示しなさい。

3. I = a_{0}ℤ を示しなさい。

問題 5.2. I を ℂ[X] のイデアルとします。この時、

1. f, g が I の元で、 f が 0 でないならば、 g を f で割った余り r も I の元であることを示しなさい。

2. I = 0 のときを除くと、 I の元の中で次数が最小のものが存在します。これを f_{0} とおくと、 I の任意の元は f_{0} で割り切れることを示しなさい。

3. I = f_{0}ℂ[X] を示しなさい。

問題 5.3. 1. (ℤ, +) の部分群は全て ℤ のイデアルであることを示し

なさい。

2. (ℤ, +) の部分群をすべて求めなさい。

3. (ℂ[X], +) の部分群で、 ℂ[X] のイデアルではないものの例を挙げなさい。

問題 5.4. ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2} (1 の三乗根) とします。この時、

ℤ + ℤω + ℤω^{2} = {a + bω + cω^{2}; a, b, c ∈ ℤ}

は ℂ の部分環であることを示しなさい。 (記法に関する注意) この環は、 ℤ に、 ω を付け加えた環になっている。そこで、この環のことを、 ℤ[ω] とかく。

問題 5.5. 1. ℤ[ω] (前問参照) の単数群を求めなさい。 2. ℤ[\sqrt{3}] = ℤ + ℤ\sqrt{3} の単数群を求めなさい。

問題 5.6. 環 R のイデアル I が与えられているとします。この時、 1. R の元のあいだの関係 ∼ を、

a ∼ b ⇔ a − b ∈ I

で定義すれば、これは同値関係であることを示しなさい。この同値関係による同値類の集合を R/I と書きます。

例題 5.1. 前問の仮定のもとで、 R/I の元のあいだの足し算を、

[a] + [b] = [a + b] ([?] は ? の同値類を表す。 ) (∗)

で定義すれば、これは代表元の取りかたによらずにうまく定義されていて、 R/I は足し算について可換群をなすことを示しなさい。

解答: まず、上の足し算が代表元の取りかたによらないことを示しましょう。 a′, b′ をそれぞれ [a], [b] の別の代表とすると、

a ∼ a′, b ∼ b′ すなわちa − a′ ∈ I, b − b′ ∈ I

が成り立ちます。これを、次のように書いておくと便利です。

a′ = a + i_{1}, b′ = b + i_{2} (i_{1}, i_{2} ∈ I)

さて、

a′ + b′ = (a + b) + (i_{1} + i_{2})

となりますが、 i_{1} + i_{2} は I の元ですから、 (a′ + b′) ∼ (a + b). すなわち

[a′ + b′] = [a + b]

が分かります。これは (∗) の右辺が代表元 a, b の取りかたによらずに定義されていることを示しています。次に (R/I, +) が群をなしていることを示しましょう。 a, b, c ∈ R に対して、

[a]+([b]+[c]) = [a]+[b+c] = [a+(b+c)] = [(a+b)+c] = [a+b]+[c] = ([a]+[b])+[c]

が成り立ちますから、結合法則は大丈夫です。

[0] + [a] = [0 + a] = [a], [a] + [0] = [a + 0] = [a]

だから、単位元 [0] が存在します。同様にして、 [a] のマイナス元が [−a] であること、さらにこの足し算が可換であることもすぐに分かります。

問題 5.7. 上の例題の仮定のもとで、 R/I に掛け算を

[a][b] = [ab]

で定義すれば、 R/I は上にあげた足し算とこの掛け算によって環をなすことを示しなさい。

問題 5.8. 環 ℤ/3ℤ を考えます。一般に、 m ∈ ℤ に対して、その ℤ/3ℤ での同値類を m̄ と書くことにします。このとき、

1. m̄ = 0 となるための m の条件を求めなさい。

2. ℤ/3ℤ の単位元は何であるか言いなさい。

3. ℤ/3ℤ は整域であることを示しなさい。

問題 5.9. p を素数とするとき、 ℤ/pℤ は体になることを示しなさい。

問題 5.10. m, n を正の整数とするとき、 ℤ/mnℤ の元 m̄, n̄ (m, n の同値類) は ℤ/mnℤ の零因子であることを示しなさい。

問題 5.11. ℂ[X]/(X^{2} − 9)ℂ[X] の零因子を一つ求めなさい。

問題 5.12. ℤ/30ℤ の零因子をすべて求めなさい。

問題 5.13. a を複素数とします。このとき、

1. 一変数多項式 f(X) を X − a で割ったときの余りは f(a) であることを示しなさい。

2. ℂ[X]/(X − a)ℂ[X] のすべての元は、ある複素数 c (の同値類) と等しいことを示しなさい。