代数学演習 I 問題 NO.7

環の準同型定理編

問題 7.1. (準同型定理) f : R → S を環の間の準同型とするとき、次のことを示しなさい。

1. f の核 I = ker f = f^{−1}(0) は R のイデアルである。

2. f(r) = f(r′) ⇔ r − r′ ∈ I。

3. f̄: R/I ∋ r̄ ↦ f(r) ∈ S は代表元の取りかたによらずに定義されている。

4. f̄ は単射準同型写像である。

5. f が全射ならば、 f̄ は同型写像である。

例題 7.1. (準同型定理の使い方)

(1) 4ℤ/12ℤ は ℤ/12ℤ のイデアルであることを示しなさい。

(2) (ℤ/12ℤ)/(4ℤ/12ℤ) を求めよ。

(1),(2) を一遍に解決する。以下、整数 m にたいし、 m の ℤ/12ℤ での同値類を m̄ と書き、 m の ℤ/3ℤ での同値類を [m] と書くことにする。写像 f : ℤ/12ℤ → ℤ/3ℤ を

f : m̄ → [m]

で定義すれば、これが代表元によらずにうまく定義されており、準同型写像であることはすぐに分かる。 f の核は

{m̄; m は 12 の倍数} = 4ℤ/12ℤ

で、準同型写像の核はイデアルだから、 4ℤ/12ℤ は ℤ/12ℤ のイデアルである。 (→ (1))

f は全射だから、準同型定理(前問)により、 f̄: (ℤ/12ℤ)/(4ℤ/12ℤ) → ℤ/3ℤ は同型を与える。 (→ (2) (答え： ℤ/3ℤ))

問題 7.2. 次の環 R とそのイデアル I について、 R/I を求めよ。 1. R = ℤ/48ℤ, I = 8R.

2. R = ℂ[X]/((X + 1)(X − 1)ℂ[X]), I = (X + 1)R.

問題 7.3. 同型 ℂ[X]/(X − 3)ℂ[X] ≅ ℂ を示しなさい。

問題 7.4. ℤ[\sqrt{−1}]/(1 + \sqrt{−1}) ≅ ℤ/2ℤ を示しなさい。

問題 7.5. f : ℝ → S を環の準同型とします。 S のイデアル J をとって、

I = f^{−1}(J)

とおくと、 I は R のイデアルであって、単射準同型 f̄: R/I → S/J が f により自然に定義されることを示しなさい。

問題 7.6. R = ℤ[\sqrt{10}] のイデアル I = (2, \sqrt{10}) による剰余環 R/I は ℤ/2ℤ と同型であることを示し、 I が R の素イデアルであることを言いなさい。

問題 7.7. (環の直積) R, S を二つの環とします。直積集合 R × S = {(r, s); r ∈ R, s ∈ S} に成分ごとの足し算と掛け算を入れれば、これは環になることを示しなさい。 (これを R と S との直積といい、 R × S であらわします。 )

問題 7.8. R, S を二つの環とするとき、 R × 0 = {(r, 0); r ∈ R} は R × S のイデアルであり、

(R × S)/(R × 0) ≅ S

が成り立つことを示しなさい。

問題 7.9. 環としての同型

ℤ/12ℤ ≅ ℤ/4ℤ × ℤ/3ℤ

を示しなさい。

問題 7.10. m と n とが互いに素であるとき、環としての同型

ℤ/mℤ × ℤ/nℤ ≅ ℤ/mnℤ

を示しなさい。

問題 7.11. 環としての同型

ℂ[X]/X(X − 1)ℂ[X] ≅ ℂ × ℂ

を示しなさい。

問題 7.12. ℤ[\sqrt{−1}]/3ℤ[\sqrt{−1}] は ℤ/3ℤ を部分体として含む体であることを示しなさい。

問題 7.13. 環 R = ℤ の部分集合 S = 4ℤ ∪ 6ℤ は、 R の元との掛け算については閉じているけれども足し算については閉じていないことを示しなさい。すなわち次の二つのことを示しなさい。

1. rs ∈ S (∀r ∈ R, s ∈ S).

2. ∃s_{1}, ∃s_{2} ∈ S があって s_{1} + s_{2} ∉ S.

問題 7.14. 1. A ∈ M_{n}(ℂ), P ∈ GL_{n}(ℂ) を任意にとります。このとき、任意の多項式 f ∈ ℂ[X] に対して、

P f(A)P^{−1} = f(P AP^{−1}) ((∗))

であることを示しなさい。 (ヒント： (∗) を満たす f の全体を S とおくと、 S は ℂ[X] の部分環をなしており、 1, X ∈ S であることを示しなさい。 )

2. 次の行列 X に対して、 X^{k} (k > 0) を求めなさい。

X = (\begin{matrix}0 & −2 & −2 \\ 0 & 1 & −2 \\ 1 & 2 & 5 \end{matrix}) (= (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}))

3. A, B, P ∈ M_{n}(ℂ) が、 P A = BP を満たすならば、任意の多項式 f ∈ ℂ[X] に対して、

P f(A) = f(B)P

が成り立つことを示しなさい。

問題 7.15. 1. 前問を用いて、任意の A ∈ M_{n}(ℂ), P ∈ GL_{n}(ℂ) に対して、 A の最小多項式と P AP^{−1} の最小多項式は一致することを示しなさい。

2. 行列式の性質を用いて、 A の固有値と P AP^{−1} の固有値とは重複度も込めて一致することを示しなさい。 (ヒント： A の固有値 =(det(xE − A) = 0 の根))

問題 7.16. P ∈ M_{n}(A) が射影 (projection) であるとは、 P^{2} = P が成り立つときに言います。さて、射影 P に関する次の各問いに答えなさい。

1. P の各固有値は、 0 か 1 であることを示しなさい。

2. ℂ^{n} は次のように P の固有空間の直和で表せることを示しなさい。

ℂ^{n} = V_{0} ⊕ V_{1}; (但しここでV_{x} = {v ∈ ℂ^{n}; P v = xv})

問題 7.17. 射影 P ∈ M_{n}(ℂ) にたいし、 v ∈ ℂ が P の像に入ることと、 P v = v が成り立つことは同値であることを示しなさい。

問題 7.18. 射影 P ∈ M_{n}(ℂ) にたいし、 P の固有空間 V_{0}, V_{1} の基底を列ベクトルとして並べた行列 B を考えれば、 B は可逆で、 B^{−1}P B は対角行列

B^{−1}P B = (\begin{matrix}1 & & & & & & & & & & 0 \\ & 1 \\ & & . & . & . \\ & & & & & 1 \\ & & & & & & 0 \\ & & & & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & & & & 0 \end{matrix})

となることを示しなさい。

問題 7.19. A ∈ M_{n}(ℂ) を任意の行列とし、その固有値の一つを λ, その重複度を r とします。さらに、 λ 以外の A の固有値を重複度も込めて並べて μ_{1}, …, μ_{s} とします。 (r + s = n; もちろん、 A の固有多項式は、

Φ_{A}(X) = (X − λ)^{r}(X − μ_{1})(X − μ_{2}) … (X − μ_{s})

と言うことになります。 ) さて、 f が次の条件を満たすとします。 (a) f(X) − 1 は α(X) = (X − λ)^{r} で割り切れる。

(b) f(X) は β(X) = (X − μ_{1})(X − μ_{2}) … (X − μ_{s}) で割り切れる。このとき、

1. 行列 f(A) はこのような f の取りかたによらないことを示しなさい。

2. f(A) は射影であることを示しなさい。 (ヒント： f^{2} も上の条件 (a),(b) を満たす。 )

3. 上のような f は存在することを示しなさい。 (ヒント： α(X) と β(X) とは互いに素であるから、 αp + βq = 1 を満たす多項式 p, q が存在する。 βq を考えてみよ。 )

4. P = f(A) の像の上では、 A − λ は巾零であること、すなわち、

(A − λ)^{r}P = 0

を示しなさい。

問題 7.20. A ∈ M_{n}(ℂ), λ, P = f(A) 等を前問の通りとする。 P の像は次のようにかけることを示しなさい。

P ℂ^{n} = W_{λ} = {v ∈ ℂ^{n}; ∃n > 0 があって、 (A − λ)^{n}v = 0 が成り立つ}

この空間 W_{λ} のことを A の弱固有空間と言います。 (ヒント (“⊂”) ： (X−λ)^{n}k(X)+f(X)h(X) = 1 となる多項式 k, h を持ってきて、 P h(A)v を考えてみよ。 )