代数学演習 I 問題 NO.10

一意分解環・単項イデアル整域・ユークリッド整域編 (2)

今回も「環」といえば単位元を持つ可換環であるとし、「環の準同型」は単位元を保つものだけを考えることにします。

問題 10.1. 単項イデアル整域は一意分解環であることを示しなさい。

問題 10.2. 環 R のイデアル I が与えられているとし、 R の元 ? の R/I でのクラスを ¯? と書くことにします。このとき、

1. 写像 ϕ : R[X] → (R/I)[X] を、

ϕ(a_{n}X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + a_{n−2}X^{n−2} + ⋯ + a_{2}X^{2} + a_{1}X + a_{0}

=(\overline{a_{n}}X^{n} + \overline{a_{n−1}}X^{n−1} + \overline{a_{n−2}}X^{n−2} + ⋯ + \overline{a_{2}}X^{2} + \overline{a_{1}}X + \overline{a_{0}}

によって定めると、 ϕ は準同型写像になることを示しなさい。

2. ϕ の核を求めなさい。

3. R[X]/I[X] ≅ (R/I)[X] を示しなさい。ここで、 I[X] は次のように定義される R[X] の部分集合です。

I[X] = {i_{n}X^{n}+i_{n−1}X^{n−1}+i_{n−2}X^{n−2}+⋯+i_{2}X^{2}+i_{1}X+i_{0}; ∀k に対して、 i_{k} ∈ I}

定義 10.1. R を一意分解環とします。 R[X] の元 f(X) が (R 上の) 原始多項式であるとは、 f の係数を全部集めてきたものの最大公約数が 1 の時 (すなわち、 R のどんな\underline{単元以外の}元 r を持ってきても、 f = rg (∃g ∈ R[X]) とは書けないとき) に言います。

問題 10.3. 次のものは、それぞれ原始多項式かどうか答えなさい。 1. R = ℤ として、

3X^{2} + 5X + 1, 7X^{5} + 14, 12X^{3} + 9X^{2} + 33

2. R = ℚ として、上と同じ多項式。

3. R = ℤ[\sqrt{−1}] として、

5X^{3} + (1 + 2\sqrt{−1})X

問題 10.4. R を一意分解環とします。このとき、 R 上の原始多項式 f, g の積 fg は原始多項式であることを示しなさい。 (ヒント： fg の係数の最大公約数が 1 でなかったとして、その素因数 p を取ります。 I = pR は R の素イデアルなので、 R/I は整域。問題 10.2 の写像 ϕ を使って話を (R/pR)[X] に移して考えなさい。 )

問題 10.5. (整域の商体)

1. R を整域とします。集合

F = {(r, s); r ∈ R, s ∈ R \ {0}}

に関係 ∼ を、

(r, s) ∼ (r′, s′) ⇔ rs′ = sr′

で入れれば、 ∼ は同値関係となることを示しなさい。 F の元 (r, s) のこの同値関係によるクラスを r/s と書きます。 (R の元の《形式的な分数》 )

2. Q(R) = F/ ∼ に演算を

r/s + p/q = (rq + ps)/sq, r/s · p/q = rp/sq

で定義すれば、 Q(R) は体になることを示しなさい。 Q(R) のことを R の商体と呼びます。

問題 10.6. 整域 R に対して、写像 ι : R → Q(R) を、

ι(r) = r/1

で定義すれば、 ι は単射であることを示しなさい。 (この結果によって、 ι により R を Q(R) の部分集合と同一視するのが普通です。 )

問題 10.7. K を体とします。このとき、 K[X] はユークリッド環（とくに、 PID,UFD) になることを示しなさい。

問題 10.8. 1. R を一意分解整域、 K = Q(R) をその商体とします。 0 以外の任意の K[X] の元 f(X) は

f(X) = cg(X) (c ∈ K, g(X) ∈ R[X], g は R 上原始的な多項式)

と書けることを示しなさい。 (ヒント： f の係数の「共通分母」をとってみなさい。 )

2. (1) で、 f = c_{1}g_{1} = c_{2}g_{2} のように二通りの書き方があったとすると、ある R の単元 u があって、 c_{1} = c_{2}u, g_{1}u = g_{2} が成り立つことを示しなさい。

問題 10.9. R を一意分解整域、 K = Q(R) をその商体とします。原始多項式 f ∈ R[X] が R[X] の元として既約ならば K[X] の元としても既約なことを示しなさい。 (ヒント： f = gh (g, h ∈ K[X] と書けたとし、 g, h の係数の「共通分母」をとって原始多項式の話になおしなさい。

問題 10.10. R を整域とします。このとき、 R[X] の既約元は素元であることを示しなさい。

問題 10.11. R を一意分解整域とします。この時、 R[X] も一意分解環であることを示しなさい。

注意 10.1. A を環とするとき、 A 上の二変数多項式環 A[X, Y] は、 A[Y] 上の一変数多項式環とみなすことができます。次のような調子でやればよろしい。

5X^{3}Y^{2} + 6X^{3}Y + 7X^{2}Y + 8XY + 9Y + 10X + 20X^{2} + 30
=(5Y^{2} + 6Y)X^{3} + (7Y + 20)X^{2} + (8Y + 10)X + (9Y + 30)

この事 (と上の問題) から、体上の二変数多項式環は一意分解環であることが分かります。

問題 10.12. K を体とするとき、 K 上の n 変数多項式環 K[X_{1}, …, X_{n}] は一意分解環であることを示しなさい。

例題 10.1. R = ℝ[X]/(X^{2} +X +1) について、次のことを示しなさい。

1. \overline{X}^{2} + X̄ + 1 = 0

2. \overline{X}^{3} = 1

3. X̄^{6} + X̄^{2} = −X̄

4. R = ℝ + ℝX̄ 5. R は体である。 (解答)

(1) X̄^{2} + X̄ + 1 = \overline{X^{2} + X + 1}. R での X^{2} + X + 1 のクラスはもちろん 0 だから、\overline{X^{2} + X + 1} = 0. ゆえに X̄^{2} + X̄ + 1 = 0.

(2) X̄^{3} = (X̄^{2} + X̄ + 1)(X̄ − 1) + 1 = 0(X̄ − 1) + 1 = 1.

(3) (2) と同様。

(4) ℝ[X] の任意の元 f(X) は、 X^{2} + X + 1 で割り算すると、

f(X) = (X^{2} + X + 1)g(X) + aX + b (a, b ∈ ℝ)

と言う具合に書ける。このことから、 R では、\overline{f(X)} = aX̄ + b と言う関係式が成り立つことが分かる。すなわち、任意の R の元は、 aX̄ + b の形の元と等しいということになって、 (4) が成り立つ。

(5)ℝ[X] が PID であることと、 X^{2} + X + 1 が ℝ[X] の既約元であることから、それで生成されたイデアル (X^{2}+X +1) が極大イデアルであることが分かり、 (5) が従うのだが、もっと具体的な情報を知るためには、次のようにすればよい。 (4) により、 aX̄ +b (a, b ∈ ℝ; a, b は同時には 0 でない。 ) が可逆であることを示せばよい。 a = 0 ならば aX̄ +b = b は逆元 b^{−1} を持つからよい。 a ≠ 0 ならば、 aX + b(= a(X + b/a) と X^{2} + X + 1 とにユークリッドの互除法を用いて、

X^{2} + X + 1 − (X + b/a)(X − b/a + 1) = (b/a)^{2} − (b/a) + 1

と言う関係式を得る。よって、 R での関係式、

(aX̄ + b)(X̄ − b/a + 1) = −a((b/a)^{2} − (b/a) + 1)

が成り立つのが分かる。 b/a が実数であることから、上の式の右辺は 0 でない実数であることに注意すれば、これは aX̄ + b が可逆であることを示している。

問題 10.13. ℚ[X]/(X^{2} + 1) の次の元を簡単にしなさい。

X̄^{5} + 2X̄^{4} + 3X̄ + 2

問題 10.14. ℚ[X]/(X − 1) の元 X̄^{100} を簡単にしなさい。

問題 10.15. ℚ[X]/(X^{2} − 2) は体であることを示しなさい。

問題 10.16. ℂ[X]/(X^{n}) における X̄ − 3 の逆元を一つ求めなさい。

問題 10.17. ℤ[X]/(X^{2} − 5) の元 (X̄ + 1)^{3} を簡単にしなさい。

問題 10.18. (イデアルの積)

R = ℂ[X, Y, Z, W] (四変数多項式環) のイデアル I, J を I = (X, Y), J = (Z, W) で定義したとき、 S = {fg; f ∈ I, g ∈ J} はこのままでは R のイデアルではないことを示しなさい。

前問のようなわけで、イデアルの積 IJ は、 S で生成された R のイデアルとして定義されます。

定義 10.2. (イデアルの積・再出) R を可換環 (単位元はなくても構わない。 )、 I, J をそのイデアルとするとき、その積 IJ̇ とは、

S = {fg; f ∈ I, g ∈ J}

で生成される R のイデアルのことを言います。問題 10.19. R = ℂ[X, Y, Z, W], I = (X, Y), J = (Z, W) としたとき、次の元は IJ に属しますか？

1. XZ

2. XZ + Y W

3. (X + Y)(Z + W)

4. (X + Z)(Y + W)

問題 10.20. 体 ℤ/11ℤ 上の行列の積

(\begin{matrix}¯1 & ¯2 & ¯3 \\ ¯4 & ¯5 & ¯6 \\ ¯7 & ¯8 & ¯9 \end{matrix}) (\begin{matrix}¯1 & ¯4 & ¯7 \\ ¯2 & ¯5 & ¯8 \\ ¯3 & ¯6 & ¯9 \end{matrix})

を計算しなさい。

問題 10.21. 体 ℤ/17ℤ 上の行列

(\begin{matrix}¯1 & ¯4 & ¯7 \\ ¯2 & ¯5 & ¯8 \\ ¯3 & ¯6 & ¯9 \end{matrix})

の逆行列を求めなさい。

問題 10.22. ℤ/2ℤ 上のベクトル空間 (ℤ/2ℤ)^{3} の次の部分集合は部分ベクトル空間になりますか？

(1) \{(\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}); xy = 0\} (2) \{(\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}); x − y + z = 0\}

問題 10.23. 前問の集合 (1),(2) のそれぞれの元をすべて書きなさい。

問題 10.24. 1. 10 進数 123456789(10) = 1×10^{8} +2×10^{7} +3×10^{6} + 4 × 10^{5} + 5 × 10^{4} + 6 × 10^{3} + 7 × 10^{2} + 8 × 10^{1} + 9 を 9 で割った余りを求めなさい。

2. 7 進数 135246(7) = 1 × 7^{5} + 3 × 7^{4} + 5 × 7^{3} + 2 × 7^{2} + 4 × 7 + 6 を 6 で割った余りを求めなさい。

3. 16 進数 147ad258be369cf(16) = 1 × 16^{14} + 4 × 16^{13} + 7 × 16^{12} + 10 × 16^{11} + 13 × 16^{10} + 2 × 16^{9} + 5 × 16^{8} + 8 × 16^{7} + 11 × 16^{6} + 14 × 16^{5} + 3 × 16^{4} + 6 × 16^{3} + 9 × 16^{2} + 12 × 16 + 15 を 15 で割った余りを求めなさい。 (a=10,b=11,c=12,d=13,e=14,f=15; コンピュータの世界では 147ad258be369cf(16) のことを 147ad258be369cfh とか 0x147ad258be369cf と書きます。

4. 多項式 X^{14} +3X^{5} +7X^{2} +8 を X −1 で割った余りを求めなさい。