代数学 A 演習問題 NO.2

2. 群の定義をちょこっといじくると出てくる性質編

今日のテーマ群を取り扱うときには、群の定義 (0),(1),(2),(3) に戻って考えよう。

(i) 基本的には、普通の掛け算 (あるいは、足し算) をやっていると思ってよい。

(ii) 積は、可換とは限らない。 (iii) 一般には、群の演算以外を用いてはならない。

問題 2.1. 群 G の元 x と、自然数 n について、 x の n 個の積 xx … x を x^{n} と書き、 (x^{n})^{−1} (x^{n} の逆元) を x^{−n} と書きます。任意の整数 a, b について、

x^{a}x^{b} = x^{a+b}, (x^{a})^{b} = x^{ab}

が成り立つことを示しなさい。

問題 2.2. 集合 G に演算 · が定義され、この演算は結合法則を満たすとします。さらに、 G の任意の元 a, b について、 a · x = b, y · a = b となる x, y ∈ G が存在したとします。 (一意性は仮定しない。 ) この時 G は群となることを示しなさい。

問題 2.3. 群の元 a, b に対して、

(ab)^{−1} = b^{−1}a^{−1}

が成り立つことを示しなさい。 (ab)^{−1} = a^{−1}b^{−1} はいつでも正しいといえますか？ (こういう問題では、正しい時には証明を、正しくない時には具体的な例をあげることを要求しています。 )

問題 2.4. 有限個の元を持つ群 G について、そのどの元 a についても、 a^{n} = e (e は単位元) となる自然数 n が存在する事を示しなさい。

問題 2.5. 群 G の任意の元 a が、、 a^{2} = e (e は G の単位元) となるとすると、 G は実は可換群であることを示しなさい。

問題 2.6. 一般に、群の元 a, b について、

ab^{−1} = b^{−1}a

は正しいといえますか？

問題 2.7. 群 G の元 a, b, c, d, f, g, h, k, l について、次の元をできるだけ簡単に表しなさい。

(abcd)^{−1}abc(h^{−1}g)^{−1}(fh)^{−1}klk^{−1}

問題 2.8. 群 G の二つの元 a, b が、関係 ba = a^{3}b を満たすとき、 ba^{5} = a^{15}b が成り立つことを示しなさい。

問題 2.9. 群 G の二つの元 a, b が次のような関係式を満たすとします。

a^{60} = e, b^{4} = e, ab = ba^{20}

このとき、 a^{3} = e であることを示しなさい。

問題 2.10. 群 G の元 a が a^{15} = e, a^{25} = e をみたすとき、 a^{5} = e であることを示しなさい。問題 2.11. 群 G の二つの元 a, b が次のような関係式を満たすとします。

a^{60} = e, b^{4} = e, ab = ba^{20}

このとき、 a^{3} = e であることを示しなさい。

問題 2.12. 群 G の二つの元 a, b が次のような関係式を満たすとします。

a^{60} = e, ab = ba^{2}

このとき、 a^{15} = e であることを示しなさい。

問題 2.13. (線型代数の復習)

1. 複素数全体のなす集合 ℂ は、実数体 ℝ 上の線型空間であることを示しなさい。更に、 ℂ の ℝ 上の基底を一つ挙げなさい。

2. x = a + bi ∈ ℂ (a, b ∈ ℝ) を固定したとき、

L_{x} :ℂ →ℂ
∪∣ ∪∣
z ↦xz

で ℝ-線型写像 L_{x} を定義できることを確かめなさい。

3. (1) の基底を使って L_{x} を行列で表現しなさい。

問題 2.14. (複素数の問題) 一般に、複素数 z = a + bi に対して、平面上の点 (a, b) を対応させることができます。このとき、二つの複素数 z, w と、

1. 和 z + w

2. 積 zw との位置関係が幾何学的にどうなっているかを述べなさい。

(ヒント： (１) 平行四辺形の法則。 (２)z = r(cos(ψ) + i sin(ψ)), w = R(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) とおいてみなさい。 (極座標表示))

問題 2.15. (線型代数の復習) A を複素係数の n × n-行列とします。このとき、

A^{N} + c_{N−1}A^{N−1} + c_{N−2}A^{N−2} + ⋯ + c_{1}A + c_{0}E = 0
(E は単位行列)

となる自然数 N と、複素数 c_{N−1}, c_{N−2}, …, c_{0} が存在することを示しなさい。 (ヒント、 M_{n}(ℂ) が有限次元であることに注意しなさい。 )

今日は次の問題についても解説します。

問題 2.16. 以下では、実数 θ を一つ固定する。二次正方行列 A, B を、

A = (\begin{matrix}cos(θ) & − sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})

で定める。このとき、 AB = BA^{−1} が成り立つことを示し、さらにそれを用いて A^{k}B = BA^{−k} が成り立つことを示せ。