代数学 A 演習問題 NO.6

同値関係編

定義 6.1. 集合 S の上に同値関係 (同値律) が与えられているとは、次のような条件を満たす「≡」が与えられている時にいいます。

1. ≡ は S の上の二項関係である。すなわち、 S の二つの元 a, b に対して、 a ≡ b かそうでないかがはっきり定まっている。

2. a ≡ a (∀a ∈ S)

3. a ≡ b, b ≡ c ⟹ a ≡ c(∀a, b, c ∈ S)

4. a ≡ b ⟹ b ≡ a(∀a, b ∈ S)

問題 6.1. 次で定義される ≡_{?} の各々はそれぞれ ℤ 上の同値関係になっているかどうか、理由をつけて答えなさい。

1. x ≡_{1} y ⇔ x = y

2. x ≡_{2} y ⇔ x ≤ y

3. x ≡_{3} y ⇔ (x − y は奇数)

4. x ≡_{4} y ⇔ (x − y は偶数)

5. x ≡_{5} y ⇔ x^{2} − y^{2} ∈ 5ℤ

6. x ≡_{6} y ⇔ x − y ≠ 0

7. x ≡_{7} y ⇔ (x = y かつ x ≠ 0)

問題 6.2.

1. 集合 N = { 日本人} において、「誕生日が同じ」というのは同値関係であることを示しなさい。

2. 0 でない自然数 k を一つ固定します。 (例えば k = 5 としてもよろしい。 ) 整数全体の集合 ℤ において、

n ≡ m⇔n − m は k で割り切れる。

できまる関係 ≡ は同値関係であることを示しなさい。

問題 6.3. 前問との関連問題です。 N = {日本人} から M = {1, 2, 3, 4, …, 11, 12} への「うまれ月写像」を、

f : ある人 ↦ その人のうまれ月

で定義します。

1. 次の 1 から 3 は (あ) から (う) のどれに対応しているか答えなさい。 1. f はうまく定義されている。

2. f は全射である。

3. f は単射ではない。

(あ) 日本人の中には同じ生まれ月の人がいる。 (い) 一人の人の生まれ月と言うのは一つしかない。 (う) どの月をとってもだれか一人はその月の生まれがいる。

2. 生まれ月が同じというのは同値関係であることを示しなさい。

問題 6.4. 一般の写像 f : N → M に対して、

n_{1} ≡ n_{2}⇔f(n_{1}) = f(n_{2})

は N における同値関係を与えることを示しなさい。前問の (2) はこの問題の特殊な場合であることを示しなさい。問題 6.5. 群 G の部分群 H が与えられたとき、

g_{1} ≡ g_{2} ⇔ g_{1}h = g_{2} となる h ∈ H が存在する。

によって、 G における同値関係が定義されることを示しなさい。 H が群であるための条件と同値関係の条件がどう対応しているかも確かめなさい。

問題 6.6. 群 G の部分群 H が与えられたとき、

g_{1} ≡ g_{2} ⇔ hg_{1} = g_{2} となる h ∈ H が存在する。

によって、 G における同値関係が定義されることを示しなさい。 H が群であるための条件と同値関係の条件がどう対応しているかも確かめなさい。さらに、この同値関係が前問の同値関係と本当に異なるような G, H の例を一つ与えなさい。

問題 6.7. 群 G の部分群 H が与えられたとき、

g_{1} ≡ g_{2} ⇔ hg_{1} = g_{2}h となる h ∈ H が存在する。

によって、 G における同値関係が定義されることを示しなさい。 H が群であるための条件と同値関係の条件がどう対応しているかも確かめなさい。

問題 6.8. 集合 S の上の置換 σ が一つ与えられたとき、

s_{1} ≡ s_{2}⇔∃k ∈ ℤ; σ^{k}(s_{1}) = s_{2}

は S における同値関係を定義することを示しなさい。

問題 6.9. 同値関係の定義 6.1 のうち、 1,3,4 は満たすけれども 2 は満たさないような S と ≡ の例を一つ挙げなさい。

定義 6.2. X に同値関係 ≡ が定まっているとき、各 X の元 a に対して、 X の部分集合

C(a) = {b; b ≡ a}

を a の ≡ に関する同値類と言います。同値類の全体のなす集合を X/ ≡ と書いて X の ≡ による商集合 (あるいは、 X を同値関係 ≡ で割った集合) と呼びます。

例えば、 K = { 高知県民全体} として、同値関係 ≡_{星座}を、

a ≡_{星座} b ⇔ a と b の星座が同じ

とすると、

C(土基) = { 射手座の高知県民}

となり、 X/ ≡_{星座}は 12 個の元からなる集合

(X/ ≡_{星座}) ={ ？座の高知県民全体 ; ? は星座}
={ 射手座の高知県民、蟹座の高知県民、等々 }

になります。もちろん、この集合は星座の集合

{ 射手座、蟹座、水瓶座、魚座、山羊座、等々 }

と同一視できます。 ≡ の例には、他にも、六星占術とか、いろいろありますね。問題 6.10. (日常生活に現れるような) 集合とその上の同値関係の例を一つ挙げ、その例について同値類および商集合の意味を上にならって挙げなさい。問題 6.11. どっかの小学校の班分けの様子を想像してみましょう。あなたはこの小学校の生徒（仮に名付けてノヒタ君とする) だとします。まだ自分の新しい班がどうなるかよく分かっていません。とりあえず、いろいろなほかの生徒に、その子と同じ班になるかどうか聞きまわってみましょう。 A 君が B 君と同じ班がいいと思っている (思っているのは A 君) ときに、

A ≡ B

と書くことにします。この時、次の各問いに答えなさい。

1. あなたは友達のしすかちゃん (仮名) にあいました。あなたは彼女と同じ班がいいと思っていたのですが、彼女からの答えは意外にも、つれないものでした。さて、このような悲劇がおこらないための条件は何か？同値関係の定義の条件中から選んでください。（これを条件 (a) とします。 )

2. さて、幸いにも、しすかちゃんの言葉は間違いで、条件 (a) は満たされていました。つまり、あなたが誰かさんと同じ班がいいと思ったときには、その誰かさんも必ずあなたが同じ班だといいと思っています。ところが、しすかちゃんはテキスギ君の班に行ってしまいました。しすかちゃんはテキスギ君とも同じ班がいいと思っていたのですが、テキスギ君とノヒタ君の班は違ったのです。（これは何故か？というのは問わない。）こういうことが起こらないための条件 (b) とは何か？

3. 友人のとらえもん（仮名) のおかげで、条件 (a), (b) が満たされたので、あなたは幸せでした。自分と同じ班の人を集めて、「ノヒタ班」と呼べば、この班の子か、そうでないかは、はっきりとわかります。ところが、友人で同じ班のシャイアンが、「ノヒタ班」の名前が許せないので、「シャイアン班」にしようと言い出しました。このようにしても、班の名前が変わっただけで、実質的な構成員は同じことを示しなさい。

4. シャイアンの要求を飲むことにして、一段落、と思ったら目が覚めました。あなたはきのうの核戦争での一人だけの生き残りで、今や班分けなど意味がないのです。ああ、もし、しすかちゃんが生きていれば、彼女と同じ班と言うだけでもうれしかったのに。自分一人だけでは、班など無意味だ。だけど、あえて言うなら、私が一人だけの班になるなー、などと、この期におよんでオオボケをかましている条件はどれか？

5. 4. の冗談はさて置いて、 48 人の小学生を 6 人ずつの班に分けたとし、

X = { 小学生}
x, y ∈ X に対してx ≡ y ⇔ x と y とは同じ班

と定義したとします。このとき、 X/ ≡ の要素の個数をもとめなさい。

問題 6.12. 集合の間の写像 f : X → Y を考えます。 a, b ∈ X について、

a ≡ b ⇔ f(a) = f(b)

4 代数学 C(コア) 演習問題 NO.6

とおくと、 ≡ は X 上の同値関係になります (問題 6.4)。写像

g : X → X/ ≡

を、 g(a) = C(a) (a ∈ X) で定義すれば、 g は本質的に f と同じ写像であることをしめしなさい。