代数学 C(コア) 演習問題 NO.7

剰余集合編 G を群、 H をその部分群とする。このとき、 G に、次のようにして同値関係 ≡_{H} が定まります。

x ≡_{H} y ⇔ ある h ∈ H があって、 xh = y が成り立つ。

この同値関係は群論においてはとくに重要なので、記号 x ≡_{H} y の代わりに、

x ≡ y (mod H)

と書いて、《x は y と H を法として左合同である》と言う事にします。考えている部分群 H が明確なときには、「(mod H)」を書くのは省略して良いです。 x のクラス C(x) を x の H を法とする左剰余類と言います。

定義 7.1. 上のように決めた同値関係 ≡ (mod H) による G の商集合 G/ ≡ を G/H と書き、 G の H による左剰余類集合という。

問題 7.1. ℤ の部分群として、 H = 55ℤ を考えます。このとき、

x ≡ 12 (mod H)

となるような x の例を 5 つ答えなさい。 (なお、答には正の数ばかりでなく負の数も入れること。 )

問題 7.2. 問題 5.1 (チャンネルを回す群 C_{k} の問題) において、「チャンネルを k 目盛だけ右に回す」という操作を g_{k} と名付けることにします。この時、

1. g_{k} = g_{l} となるためには k と l にどのような関係が必要十分か、「ℤ の適当な部分群 H とそれを法とする同値関係」の言葉を用いて論じなさい。

2. 整数 s について、 g_{1}^{s} を計算しなさい。

3. g_{1}^{s} = e (C_{k} の単位元) となるためには s にどのような関係が必要十分か、 1. の H の言葉を用いて論じなさい。

定義 7.2. n 個のもの 1, 2, 3, …, n の置換全体は群になります。この群を n 次の対称群とよび、 𝔖_{n} と書きます。

問題 7.3.

H = {σ ∈ 𝔖_{3}; σ(3) = 3}

と置きます。 1. H の元を全て書き出しなさい。

2. H を法とする同値関係によって、 𝔖_{3} がどのようにクラス分けされるか、クラス分けの表をつくって示しなさい。

3. 𝔖_{3} の元

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ i & j & k \end{matrix})

が 𝔖_{3} の単位元 e と同値になるのはいつか、 i, j, k を使って答えなさい。問題 7.4. 前問で、 𝔖_{3} を 𝔖_{4} に換えて、

H = {σ ∈ 𝔖_{4}; σ(4) = 4}

と置きます。このとき前問と同様な問題に答えなさい。

問題 7.5. n を正の整数とします。

H = {σ ∈ 𝔖_{n}; σ(n) = n}

と置きます。 1. H は 𝔖_{n−1} と同一視できることを示しなさい。

2. 𝔖_{n}/H の元の個数を求めなさい。

問題 7.6. 「チャンネルの群」 C_{n} = ⟨g_{1}; g_{1}^{n} = e⟩ について考えます。

1. C_{12} の、 {g_{1}^{3}} によって生成される部分群 H_{1} は何になるか、元を全て挙げることによりいいなさい。

2. C_{12} の、 {g_{1}^{5}} によって生成される部分群 H_{2} は何になるか、元を全て挙げることによりいいなさい。

3. C_{12} の、 {g_{1}^{10}} によって生成される部分群 H_{3} は何になるか、元を全て挙げることによりいいなさい。

4. C_{12}/H_{?} (?=1,2,3) の元の個数を求めなさい。

問題 7.7. C_{20} = ⟨g_{1}; g_{1}^{20} = e⟩ の、 H = ⟨{g_{1}^{4}}⟩ を法とする同値関係によるクラス分けを、クラス分けの表をつくって示しなさい。

問題 7.8. n, l を正の整数とします。 C_{n} の部分群 H を、 H = ⟨{g_{1}^{l}}⟩ により決めます。このとき、 H の元の個数と、左剰余類集合 C_{n}/H の元の個数を求めなさい。

問題 7.9. n を正の整数とします。

H = {σ ∈ 𝔖_{n}; σ(n) = n かつ σ(n − 1) = n − 1}

と置きます。 1. H は 𝔖_{n−2} と同一視できることを示しなさい。

2. 𝔖_{n} の二元

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & … & n − 1 & n \\ i_{1} & i_{2} & i_{3} & … & i_{n−1} & i_{n} \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & … & n − 1 & n \\ j_{1} & j_{2} & j_{3} & … & j_{n−1} & j_{n} \end{matrix})

が H を法として同値なのはどういう時ですか？

3. 𝔖_{n}/H の元の個数を求めなさい。

問題 7.10. 1. ℂ^{×} = {z ∈ ℂ; z ≠ 0} はかけ算に関して群になること

を示しなさい。

2. H = {z ∈ ℂ; |z| = 1} は ℂ^{×} の部分群になることを示しなさい。 3. ℂ^{×} は H を法としてどのようにクラス分けされるか、複素平面を

利用して説明しなさい。