代数学 C(コア) 演習問題 NO.11

準同型定理編今回は、一学期の目標である《群の準同型定理》について出題します。

定理 11.1 (群の準同型定理).群 G から別の群 H への準同型写像 ϕ : G → H が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

1. ϕ の像 Image ϕ は H の部分群である。 ( 問題 11.1)

2. ϕ の核 N = Ker ϕ は G の正規部分群である。 ( 問題 9.13)

3. 剰余群 G/N は Image ϕ と同型である。

問題11.1-11.5(および前回以前)の問題にはこの定理を使っては\underline{いけません}。

問題 11.1. 群 G から別の群 H への準同型写像 ϕ : G → H が与えられたとします。このとき、

1. Image ϕ は H の部分群であることを示しなさい。

2. ψ : G → Image ϕ を、 ψ(g) = ϕ(g) で定義すると、 ψ は全射準同型写像になることを示しなさい。

3. ϕ が単射だとすると、 ψ は同型になることを示しなさい。

問題 11.2. ℤ から位数 n の巡回群 C_{n} = ⟨g; g^{n} = e⟩ への写像 f を f(k) = g^{k} で定めます。このとき、

1. f は群の準同型写像であることを示しなさい。

2. Ker(f) = nℤ であることを示しなさい。

3. ℤ 上の関係 ∼ を、

k ∼ l ⇔f(k) = f(l)

で定めると、 ∼ は同値関係になります。これを示しなさい。

4. ∼ は実は nℤ を法とする同値関係と等しいこと、すなわち、任意の k, l ∈ ℤ にたいし、

k ≡ l(mod nℤ) ⇔ k ∼ l

が成り立つことを示しなさい。

5. f̄: ℤ/nℤ → C_{n} を、 f̄([k]) = g^{k} で定めると、 f̄ は ℤ/nℤ から C_{n} への同型写像になることを示しなさい。ただし、ここで [?] は整数 ? の ℤ/nℤ での同値類を表すものとします。

上の問題のように、 C_{n} は ℤ/nℤ と同型であるので、今後は C_{n} という記号は使わずに、 ℤ/nℤ を使うことにします。 ℤ/nℤ の元は、 ¯3 のように上に線をつけて表すか、 [3] のように角括弧で囲って表わされることが多いです。この演習では、 [?]_{n} と書けば整数 ? の ℤ/nℤ での同値類を表すことにします。演算は”+” で書きます。

[4]_{n} + [5]_{n} = [9]_{n}

等々。

問題 11.3. 群 G から別の群 H への準同型写像 ϕ : G → H が与えられたとします。このとき、

1. G 上の関係 ∼ を

g_{1} ∼ g_{2} ⇔ ϕ(g_{1}) = ϕ(g_{2})

で定義すると、これは同値関係であることを示しなさい。

2. ∼ は N を法とする同値関係と一致することを示しなさい。 3. G/N から H への写像 φ を、 φ([g]) = ϕ(g) で定義すると、 φ は

群の準同型写像になることを示しなさい。ただし、ここで [?] は G の元 ? の G/N での同値類を表すものとします。

4. φ は単射であることを示しなさい。

問題 11.4. ℤ/9ℤ から ℤ/3ℤ への写像 f を

f([n]_{9}) = [n]_{3}

で定めます。このとき、 1. f は全射準同型写像であることを示しなさい。

2. f によって ℤ/9ℤ の各元が ℤ/3ℤ のどの元にうつるか？対応表を書き上げることによって示しなさい。

3. f によって同じもの同士を同じクラスにして ℤ/9ℤ をクラス分けし、クラス分けの表を書きなさい。

4. Ker f を求めなさい

5. ℤ/9ℤ を Ker f を法としてクラス分けしなさい。

問題 11.5. ℤ/8ℤ から ℤ/6ℤ への写像 f を

f([n]_{8}) = [3n]_{6}

で定めます。このとき、 1. f は準同型写像であることを示しなさい。

2. f の像を求めなさい。

3. f によって ℤ/8ℤ の各元が ℤ/6ℤ のどの元にうつるか？対応表を書き上げることによって示しなさい。

4. f によって同じもの同士を同じクラスにして ℤ/8ℤ をクラス分し、クラス分けの表を書きなさい。

5. f の核を求めなさい

6. ℤ/8ℤ を Ker f を法としてクラス分けしなさい。

問題 11.6. 有限群 G が一つの元 g で生成されているとき、 G は有限巡回群と同型であることを示しなさい。

問題 11.7. 無限群 G が一つの元 g で生成されているとき、 G は ℤ と同型であることを示しなさい。

問題 11.8. 群 G が与えられているとします。 G の元 g を一つ決めると、 ℤ から G への準同型写像 ϕ で、 ϕ(1) = g を満たすものがただ一つ存在することを示しなさい。さらに、このことを用いて、 ℤ から群 G への準同型の全体は、 G の元と一対一に対応することを示しなさい。

問題 11.9. 有限巡回群 C_{k} = ℤ/kℤ から群 G への準同型の全体は、

{g ∈ G; g^{k} = e}

と一対一対応することを示しなさい。

問題 11.10.

1. 20ℤ は 4ℤ の正規部分群であることを示しなさい。

2. 写像 f : ℤ → ℤ/5ℤ を、 f(x) = [x]_{5} で定義すると、 f は準同型写像になることを示しなさい。

3. 上の f の核を求め、 4ℤ/20ℤ が ℤ/5ℤ と同型であることを示しなさい。問題 11.11. m, n はそれぞれ正の整数であるとします。この時、 mℤ/mnℤ は ℤ/nℤ と同型であることを示しなさい。

問題 11.12. a, b, c, d, n はそれぞれ正の整数であるとします。写像 f : aℤ/abℤ → cℤ/cdℤ を、 f([ax]_{ab}) = [nx]_{cd} (x ∈ ℤ) で定義しようと思います。この写像が準同型になるのは a, b, c, d, n にどのような関係があるときか、答えなさい。

問題 11.13. 複素数 z に対して、その共役を z̄ であらわします。このとき、

1. ℂ ∋ z ↦ z̄ ∈ ℂ は複素数全体のなす加法群 (ℂ, +) からそれ自身への同型写像を与えることを示しなさい。

2. ℂ^{×} ∋ z ↦ z̄ ∈ ℂ^{×} は複素数全体から 0 を除いたもののなす乗法群 (ℂ^{×}, ×) からそれ自身への同型写像を与えることを示しなさい。

問題 11.14. 複素数を成分に持つ行列 A = (a_{ij}) に対して、その随伴行列 A^{∗} を、

A^{∗} = (ā_{ji})

で定義します。 (すなわち、 A^{∗} は、 A の転置行列^{t}A の各行列成分についておのおのの複素共役をとったものです。 ) 例えば、

(\begin{matrix}1 & 4 + 5i \\ 2 + 3i & 6 + 7i \end{matrix})^{∗} = (\begin{matrix}1 & 2 − 3i \\ 4 − 5i & 6 − 7i \end{matrix})

と言う具合です。この時、

1. 複素数を成分に持つ n-次正方行列 (=n×n-行列) 全体を M_{n}(ℂ) と書けば、 M_{n}(ℂ) ∋ A ↦ A^{∗} ∈ M_{n}(ℂ) は行列の加法群 (M_{n}(ℂ), +) からそれ自体への同型写像であることを示しなさい。

2. 複素数を成分に持つ可逆 n-次正方行列 (=n×n-行列)全体を GL_{n}(ℂ) と書けば、 GL_{n}(ℂ) ∋ A ↦ (A^{∗})^{−1} ∈ GL_{n}(ℂ) は可逆行列全体のなす乗法群 (GL_{n}(ℂ), ×) (一般線型群と呼ばれる) からそれ自体への同型写像であることを示しなさい。

問題 11.15. 複素数を成分に持つ正方行列 A がユニタリ行列であるとは、 A^{∗}A = I (単位行列)が成り立つ時に言います。さて、ユニタリ行列全体 U(n) は乗法に関して群をなすことを示しなさい。 (U(n) はユニタリ群と呼ばれます。 )

問題 11.16. 1. 写像

det : GL_{n}(ℂ) ∋ A ↦ det(A) ∈ ℂ^{×}

は準同型であることを示しなさい。

2. det(A^{∗}) = \overline{det(A)} であることを示しなさい。

3. A がユニタリ行列なら、 | det(A)| = 1 であることを示しなさい。

問題 11.17. f, g はともに群 G から群 H への準同型であるとします。このとき、

K = {x ∈ G; f(x) = g(x)}

は G の部分群であることを示しなさい。 K は G の正規部分群とは限らないことを、実例を挙げて示しなさい。問題 11.18. 同型

ℝ/ℤ ≅ \{(\begin{matrix}cos(θ) & − sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \end{matrix}); θ ∈ ℝ\}

の存在を示しなさい。

問題 11.19. f : G → G′ が群のあいだの準同型で、 G の正規部分群 N が、 f(N) = {e′} (e′ は G′ の単位元) を満たすならば、準同型 g : G/N → G′ が存在して、 f = gι を満たすことを示しなさい。ただし、ここで、 ι : G → G/N は自然な準同型のこととします。

問題 11.20. T = {z ∈ ℂ; |z| = 1} は ℂ^{×} の正規部分群となり、剰余群 ℂ/T は ℝ^{×} と同型であるということを示しなさい。