ポイントを図に書き入れる

デザイン定規で描画する際に必要なデータをまずそろえます。 実際に描いた手順をよく思い浮かべれば良いでしょう。

1. 大円の中心。これは原点とします。
2. 大円の半径。これは基準の長さ $1$ とするのが便利でしょう。
3. 小円の半径。 $r$ とします。
4. 小円の「鉛筆をいれる穴」の位置。これは小円の中心から $a r$ 離れている としましょう。もちろん $0<a<1$ です。

製図するときに必要なデータ。

1. 図の $t$ 。これは基本になるパラメータです。
2. 図の $\alpha$ 。これは $t$ から求まるはずの数です。

では $\alpha$ をどうやって求めれば良いでしょうか。 そのためには、「滑べらずに動かす」ということを表現することになります。 結果だけ書くと、

$$\alpha r=$$(小円の弧 $AB$ の長さ)$$=$$   (大円の弧 $A_0 B$ の長さ) = $t$$$.$$

さて、

$$\overrightarrow{OC}=r(\cos(t),\sin(t))$$

$$\overrightarrow{CA}=ar(\cos(t-\alpha),\sin(t-\alpha))$$

ですから $A$ の座標は

$$(1-r)(\cos(t),\sin(t))+ a r (\cos(s t),\sin(s t)) \qquad ($$$$\text {但し} s=1-\frac{1}{r})$$

となります。これが内トロコイドのパラメータ表示です。 つぎの話題に移る前に、 この表示のうち、どの変数が動いて、どの変数が固定されているか しっかり確認してください。