代数学 II 要約 NO.1

環の定義と環の準同型定理の復習

定義 1.1 (環の定義). 集合 R が環であるとは、足し算と呼ばれる写像

+ : R × R → R

と掛け算と呼ばれる写像

× : R × R → R

が定義されていて次の性質を満たす時に言う。 1. R は足し算に関して可換群をなす。

2. R の積は結合法則を満たす。

3. R の足し算と掛け算は分配法則を満たす。

4. R は積に関して単位元を持つ。

定義 1.2 (部分環の定義).R の部分集合 X が R の部分環であるとは、次の条件が成り立つときにいう。

1. X は R の足し算、かけ算を流用することにより環になる。 2. X は R の単位元 1_{R} を元として含む。

定義 1.3 (イデアルの定義).R の部分集合 Y が R のイデアルとであるとは、次の条件が成り立つときにいう。

1. Y は R の加法を流用することにより可換群になる。

2. 任意の a ∈ R と y ∈ Y に対して、 ay,ya はともに Y の元である。

定義 1.4 (環の準同型の定義).環の間の写像 ϕ : R → S が準同型であるとは、次の条件が成り立つときにいう。

1. ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) が任意の x, y についてなりたつ。

2. ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) が任意の x, y についてなりたつ。

3. ϕ(1_{R}) = ϕ(1_{S}) がなりたつ

定理 1.1 (環の準同型定理). 環の間の準同型 ϕ : R → S が与えられていたとする。このとき、

1. ϕ の核 Ker(ϕ) は R のイデアルである。

2. ϕ の像 Image(ϕ) は S の部分環である。

3. ϕ は R/ Ker(ϕ) と Image(ϕ) との間の準同型を誘導する。 (☆) レポート問題

(各回のレポート問題は、一問解けば十分です。複数解いた場合には、そのなかで最良のものがその回の点数になります。 )

x, y をそれぞれ諸君の入学年度および学生番号 (98 数理 150 氏の場合 x=98,y=150) とし、行列 A を

A = (\begin{matrix}x & y + 256 \\ 2 & 0 \end{matrix})

と決める。さらに、写像 ϕ : ℂ[X] → M_{2}(ℂ) を、

ϕ(f) = f(A)

で定義する。このとき、

問題 1.1. ϕ の核に属するような X の多項式で、 X の二次式、三次式、四次式であるようなものの例をそれぞれ一つづつ (計 3 つ) 挙げなさい。 (それぞれなぜ Ker(ϕ) に入るか理由を書き添えること。 )

問題 1.2. 複素数を成分にもつ行列

(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})

が ϕ の像になるための必要条件を、 a, b, c, d の一次式を使ってかきなさい。 (もちろん理由も添えること)