代数学 II 要約 No.1

定義 1.1 (環の定義)   集合 $R$ が環であるとは、足し算と呼ばれる写像

$$+: R\times R \to R$$

と掛け算と呼ばれる写像

$$\times :R\times R \to R$$

が定義されていて次の性質を満たす時に言う。

1.

$R$ は足し算に関して可換群をなす。

2.

$R$ の積は結合法則を満たす。

3.

$R$ の足し算と掛け算は分配法則を満たす。

4.

$R$ は積に関して単位元を持つ。

定義 1.2 (部分環の定義)   $R$ の部分集合 $X$ が $R$ の部分環であるとは、 次の条件が成り立つときにいう。

1.

$X$ は $R$ の足し算、かけ算を流用することにより環になる。

2.

$X$ は $R$ の単位元 $1_R$ を元として含む。

定義 1.3 (イデアルの定義)   $R$ の部分集合 $Y$ が $R$ のイデアルとであるとは、 次の条件が成り立つときにいう。

1.

$Y$ は $R$ の加法を流用することにより可換群になる。

2.

任意の $a\in R$ と $y\in Y$ に対して、 $ay$,$ya$ はともに

$Y$ の元である。

定義 1.4 (環の準同型の定義)   環の間の写像 $\phi:R\to S$ が準同型であるとは、 次の条件が成り立つときにいう。

1.

$\phi(x+y)=\phi (x)+\phi(y)$ が任意の $x,y$ についてなりたつ。

2.

$\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ が任意の $x,y$ についてなりたつ。

3.

$\phi(1_R)=\phi(1_S)$ がなりたつ

定理 1.1 (環の準同型定理)   環の間の準同型 $\phi:R\to S$ が与えられていたとする。 このとき、

1.

$\phi$ の核 $\operatorname{Ker}(\phi)$ は $R$ のイデアルである。

2.

$\phi$ の像 $\operatorname{Image}(\phi)$ は $S$ の部分環である。

3.

$\phi$ は $R/\operatorname{Ker}(\phi)$ と $\operatorname{Image}(\phi)$ との間の 準同型を誘導する。

(☆) レポート問題

(各回のレポート問題は、一問解けば十分です。 複数解いた場合には、そのなかで最良のものが その回の点数になります。)

$x,y$ をそれぞれ諸君の入学年度および学生番号(98数理150氏の場合 x=98,y=150) とし、行列 $A$ を

$$A=\begin{pmatrix} x &&y+256 \\ 2 && 0 \end{pmatrix}$$

と決める。さらに、写像 $\phi: {\Bbb C}[X] \to M_2({\Bbb C})$ を、

$$\phi(f)=f(A)$$

で定義する。このとき、

問題 1.1   $\phi$ の核に属するような $X$ の多項式で、 $X$ の二次式、三次式、四次式であるようなものの例をそれぞれ一つづつ (計3つ)挙げなさい。 (それぞれなぜ $\operatorname{Ker}(\phi)$ に入るか理由を書き添えること。)

問題 1.2   複素数を成分にもつ行列

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

が $\phi$ の像になるための必要条件を、$a,b,c,d$ の一次式を使ってかきなさい。 (もちろん理由も添えること)