代数学 II 要約 NO.2

体の定義・体に元を付け加えてできる環や体

定義 2.1 (可換体の定義).環 R が可換体であるとは、 R が可換であって、さらに、 0 以外の R の元が全てかけ算について逆元をもつときに言う。

定義 2.2 (環に元を付け加えてできる\underline{環}).環 R と、その部分環 S, および R の元 x_{1}, …, x_{n} が与えられているとする。このとき、 S と x_{1}, …, x_{n} とを含む R の部分環のうち最小のものをS[x_{1}, …, x_{n}] (\underline{角括弧に注意}) と書き、 S に x_{1}, … x_{n} を付け加えてできる環と呼ぶ。

一般に、体 K と、その部分体 k, および K の元 x_{1}, …, x_{n} が与えられていたとしても、 k[x_{1}, …, x_{n}] は体とは限らない。

定義 2.3 (体に元を付け加えてできる\underline{体}).体 K と、その部分体 k, および K の元 x_{1}, …, x_{n} が与えられているとする。このとき、 k と x_{1}, …, x_{n} とを含む K の部分体のうち最小のものをk(x_{1}, …, x_{n}) (\underline{丸括弧に注意}) と書き、 k に x_{1}, …, x_{n} を付け加えてできる体と呼ぶ。

上の二つの定義では、すでに存在する x_{1}, …, x_{n} を付け加えることを考えているが、「変数」 X_{1}, …, X_{n} を付け加えたものもそれに準じて定義される。すなわち、

• 環 S に対して、 S[X_{1}, …, X_{n}] (\underline{角括弧}) は S を係数にもつ n 変数の多項式環であり、

• 体 k に対して、 k(X_{1}, …, X_{n}) (\underline{丸括弧}) は k を係数にもつ n 変数

の有理関数体である。 ◆角括弧と丸括弧の使い分けは次のように覚えておくと良い。

環を作る→角括弧

体を作る→丸括弧

ℚ[X] と ℚ(X) との違いがわかることが大事である。

[例]

ℚ[\sqrt{2}] = ℚ + ℚ\sqrt{2}
ℚ[\sqrt{2} + \sqrt{3}] = ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{3}] = ℚ + ℚ\sqrt{2} + ℚ\sqrt{3} + ℚ\sqrt{6}

定義 2.4. 体 K とその部分体 k が与えられているとする。このとき、 K の k-ベクトル空間としての次元を K の k 上の拡大次数といい、 [K : k] であらわす。

定理 2.1. 体 K とその部分体 k が与えられていて、 [K : k] < ∞ とする。このとき、 K の任意の元 x は K 上代数的である。すなわち、ある 1 以上の整数 n と k の元 a_{0}, a_{1}, …, a_{n−1} があって、

x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0} = 0

をみたす。問題 2.1. 1. K = ℚ[\sqrt{2} + 5\sqrt{3} − 3\sqrt{5}] は\sqrt{2} を元として含むことを

示しなさい。

2. K の ℚ 上のベクトル空間としての次元を求めなさい。

問題 2.2. K = ℚ[\sqrt{2} + 5\sqrt{3} − 3\sqrt{5}] は体であることを示しなさい。