代数学 II 要約 No.2

定義 2.1 (可換体の定義)   環 $R$ が可換体であるとは、$R$ が可換であって、さらに、 $0$ 以外の $R$ の元が全てかけ算について逆元をもつときに言う。

定義 2.2 (環に元を付け加えてできる環)   環 $R$ と、その部分環 $S$, および $R$ の元 $x_1,\dots,x_n$ が 与えられているとする。 このとき、$S$ と $x_1,\dots,x_n$ とを含む $R$ の部分環のうち最小のものを $S[x_1,\dots,x_n]$ (角括弧に注意) と書き、$S$ に $x_1,\dots x_n$ を付け加えてできる環と呼ぶ。

一般に、体 $K$ と、その部分体 $k$, および $K$ の元 $x_1,\dots,x_n$ が 与えられていたとしても、 $k[x_1,\dots,x_n]$ は体とは限らない。

定義 2.3 (体に元を付け加えてできる体)   体 $K$ と、その部分体 $k$, および $K$ の元 $x_1,\dots,x_n$ が 与えられているとする。 このとき、$k$ と $x_1,\dots,x_n$ とを含む $K$ の部分体のうち最小のものを $k(x_1,\dots,x_n)$ (丸括弧に注意) と書き、$k$ に $x_1,\dots,x_n$ を付け加えてできる体と呼ぶ。

上の二つの定義では、すでに存在する $x_1,\dots,x_n$ を 付け加えることを考えているが、 「変数」 $X_1,\dots,X_n$ を付け加えたものもそれに準じて定義される。すなわち、

• 環 $S$ に対して、 $S[X_1,\dots,X_n]$ (角括弧)は $S$ を係数にもつ $n$ 変数の多項式環であり、
• 体 $k$ に対して、 $k(X_1,\dots,X_n)$ (丸括弧)は $k$ を係数にもつ $n$ 変数の有理関数体である。

◆ 角括弧と丸括弧の使い分けは次のように覚えておくと良い。

環を作る→角括弧

体を作る→丸括弧

$\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ と $\mbox{${\Bbb Q}$ }(X)$ との違いがわかることが大事である。

[例]

$$\mbox{${\Bbb Q}$}[\sqrt{2}]=\mbox{${\Bbb Q}$}+\mbox{${\Bbb Q}$}\sqrt{2}$$

$$\mbox{${\Bbb Q}$}[\sqrt{2}+\sqrt{3}]=\mbox{${\Bbb Q}$}[\sqrt{... ...$}\sqrt{2}+\mbox{${\Bbb Q}$}\sqrt{3}+\mbox{${\Bbb Q}$}\sqrt{6}$$

定義 2.4   体 $K$ とその部分体 $k$ が与えられているとする。このとき、 $K$ の $k$-ベクトル空間としての次元を $K$ の $k$ 上の拡大次数といい、 $[K:k]$ であらわす。

定理 2.1   体 $K$ とその部分体 $k$ が与えられていて、 $[K:k]<\infty$ とする。 このとき、$K$ の任意の元 $x$ は $K$ 上代数的である。 すなわち、ある $1$ 以上の整数 $n$ と $k$ の元 $a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$ が あって、

$$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0=0$$

をみたす。

問題 2.1  

1.

$K=\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}+5\sqrt{3}-3\sqrt{5}]$ は $\sqrt{2}$ を元として含むことを示しなさい。

2.

$K$ の $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上のベクトル空間としての次元を求めなさい。

問題 2.2   $K=\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}+5\sqrt{3}-3\sqrt{5}]$ は体であることを示しなさい。