代数学 II 要約 NO.3

多項式環の剰余環・多項式の既約性定理 3.1 から 3.3 は大変重要である。証明は次回にする。

定理 3.1. 任意の体 k に対して、 k[X] は単項イデアル整域である。すなわち、 k[X] は整域であって、しかもそのイデアルは全て単項イデアル ( 一つの元で生成されるイデアル ) である。

定理 3.2. 体 k と、 k[X] の元 f をとる。 ( 但し f は定数ではないとする。 ) このとき、次は同値である。

1. k[X]/(f) は整域である。

2. k[X]/(f) は体である。

3. f は既約多項式である。

定理 3.3. 体 k と、 k[X] の既約元 f をとる。 ( 但し f は定数ではないとする。 ) このとき、 K = k[X]/(f) とおき、 X の K での同値類を a と書くと、次のことが成り立つ。

1. K は k を含む体である。

2. K = k[a].

3. f(a) = 0.

4. [K : k] = deg(f) (f の次数).

上のことにより、既約な一変数多項式 f をきめることで、 k の拡大体を得ることができる。では、 f が既約であるかどうかはどうやってわかるのだろうか？本講義ではつぎの諸事実を用いる。

事実 3.1. 次のような f ∈ k[X] は、それぞれ既約多項式である。 1. 一次式。

2. 二次式または三次式で、 k のなかに根をもたないもの。

補題 3.1. 1. R が整域なら、 R[X] も整域である。 2. 可換環 S のイデアル I にたいして、

J = {f ∈ S[X]; f の全ての係数は I の元である}

は S[X] のイデアルであり、同型 S[X]/J ≅ (S/I)[X] が存在する

補題 3.2 (ガウス). 多項式 f ∈ ℤ[X] が、 ℤ[X] の元として既約ならば、 ℚ[X] の元としても既約である。

定理 3.4 (アイゼンシュタイン).ℤ を係数にもつモニックな多項式

f(X) = X^{k} + a_{k−1}X^{k−1} + a_{k−2}X^{k−2} + ⋯ + a_{0}

が、ある素数 p に対して、次の二つの性質をもつとする。 1. f(X) = X^{k} (modp)

2. f(X) の定数項は p^{2} で割り切れない。このとき、 f は ℚ 上既約である。

次のこともよく用いる。

定理 3.5. 任意の f ∈ k[X] と任意の定数 c ∈ k に対して、 f(X) が既約 ⇔ f(X + c) が既約.

定理 3.6. モニックな整係数多項式 f(X) ∈ ℤ[X] が与えられていたとする。もしある素数 p に対して f が ℤ/pℤ 係数の多項式として既約なら、 f は ℚ[X] の元として既約である。問題 3.1. 次の多項式は既約であることを示しなさい。

1. X^{2} − 2 ∈ ℚ[X]

2. X^{3} − X + 2 ∈ (ℤ/5ℤ)[X]

3. X^{4} + 7X^{3} + 15X^{2} + 13X + 7 ∈ ℚ[X]

問題 3.2. 有限体 k が与えられているとする。このとき、 k 上の二次の多項式

f(X) = X^{2} − X + c

が既約になるような k の元 c が必ず存在することをしめしなさい。