代数学 II 要約 No.3

定理3.1から3.3 は大変重要である。証明は次回にする。

定理 3.1   任意の体 $k$ に対して、$k[X]$ は単項イデアル整域である。 すなわち、$k[X]$ は整域であって、しかもそのイデアルは全て単項イデアル $($一つの元で生成されるイデアル$)$である。

定理 3.2   体 $k$ と、$k[X]$ の元 $f$ をとる。$($但し$f$ は定数ではないとする。$)$このとき、次は同値である。

1.

$k[X]/(f)$ は整域である。

2.

$k[X]/(f)$ は体である。

3.

$f$ は既約多項式である。

定理 3.3   体 $k$ と、$k[X]$ の既約元 $f$ をとる。$($但し$f$ は定数ではないとする。$)$このとき、 $K=k[X]/(f)$ とおき、$X$ の $K$ での同値類を $a$ と書くと、 次のことが成り立つ。

1.

$K$ は $k$ を含む体である。

2.

$K=k[a]$.

3.

$f(a)=0$.

4.

$[K:k]=\deg(f)\quad(\text{$f$\space の次数})$.

上のことにより、既約な一変数多項式 $f$ をきめることで、 $k$ の拡大体を得ることができる。では、$f$ が既約であるかどうかは どうやってわかるのだろうか？本講義ではつぎの諸事実を用いる。

事実 3.1   次のような $f\in k[X]$ は、それぞれ既約多項式である。

1.

一次式。

2.

二次式または三次式で、$k$ のなかに根をもたないもの。

補題 3.1  

1.

$R$ が整域なら、$R[X]$ も整域である。

2.

可換環 $S$ のイデアル $I$ にたいして、

$$J=\{ f\in S[X]; \text{$f$ の全ての係数は $I$ の元である}\}$$

は $S[X]$ のイデアルであり、同型 $S[X]/J\cong (S/I)[X]$ が存在する

補題 3.2 (ガウス)   多項式 $f\in {\mbox{${\Bbb Z}$ }}[X]$ が、 ${\mbox{${\Bbb Z}$ }}[X]$ の元として既約ならば、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ の 元としても既約である。

定理 3.4 (アイゼンシュタイン)   ${\mbox{${\Bbb Z}$ }}$ を係数にもつモニックな多項式

$$f(X)=X^k+a_{k-1}X^{k-1}+a_{k-2}X^{k-2}+\dots+a_0$$

が、ある素数 $p$ に対して、次の二つの性質をもつとする。

1.

$f(X)=X^k \quad({\operatorname{mod}}p)$

2.

$f(X)$ の定数項は $p^2$ で割り切れない。

このとき、$f$ は $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上既約である。

次のこともよく用いる。

定理 3.5   任意の $f\in k[X]$ と任意の定数 $c\in k$ に対して、

$f(X)$ が既約 ${\Leftrightarrow}$ $f(X+c)$ が既約.

定理 3.6   モニックな整係数多項式 $f(X)\in {\mbox{${\Bbb Z}$ }}[X]$ が与えられていたとする。もし ある素数 $p$ に対して $f$ が ${\mbox{${\Bbb Z}$ }}/p{\mbox{${\Bbb Z}$ }}$ 係数の多項式として既約なら、 $f$ は $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ の元として既約である。

問題 3.1   次の多項式は既約であることを示しなさい。

1.

$X^2-2 \in \mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$

2.

$X^3-X+2 \in ({\mbox{${\Bbb Z}$ }}/5{\mbox{${\Bbb Z}$ }})[X]$

3.

$X^4+7X^3+15X^2+13X+7 \in \mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$

問題 3.2   有限体 $k$ が与えられているとする。 このとき、 $k$ 上の二次の多項式

$$f(X)=X^2-X+c$$

が既約になるような $k$ の元 $c$ が必ず存在することをしめしなさい。