代数学 II 要約 NO.4

多項式環の剰余環・多項式の既約性定理 4.1 から 4.3(定理 3.1 から 3.3 の再掲) は大変重要である。

定理 4.1. 任意の体 k に対して、 k[X] は単項イデアル整域である。すなわち、 k[X] は整域であって、しかもそのイデアルは全て単項イデアル ( 一つの元で生成されるイデアル ) である。

定理 4.2. 体 k と、 k[X] の元 f をとる。 ( 但し f は定数ではないとする。 ) このとき、次は同値である。

1. k[X]/(f) は整域である。

2. k[X]/(f) は体である。

3. f は既約多項式である。

定理 4.3. 体 k と、 k[X] の既約元 f をとる。 ( 但し f は定数ではないとする。 ) このとき、 K = k[X]/(f) とおき、 X の K での同値類を a と書くと、次のことが成り立つ。

1. K は k を含む体である。

2. K = k[a].

3. f(a) = 0.

4. [K : k] = deg(f) (f の次数).

※上の定理は、 k にあたらしく「f = 0 の根」 a を一つ付け加えた体を「作る」 (構成する) ことができることを示している。この操作を繰り返し行うことにより、さまざまな体を構成することができる。こうやって構成した体同士の関係や、既存な体との関係が、次回のテーマになる。

例 4.1. ℚ[X]/(X^{2} − 2) における、 X のクラスを a と書くと、 a^{2} = 2. また、 (−a)^{2} = 2 がなりたつ。

例 4.2. ℚ[X]/(X^{2} − 2X − 1) における、 X のクラスを b と書くと、 (b − 1)^{2} = 2.

※上の二つの例で、 ±a, ±(b − 1), ±\sqrt{2} は全て二乗して 2 であるが、べつにこれらの間に「等号」が成り立つ訳ではない。それはたとえば、行列

A = (\begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix})

が A^{2} = 2 を満たすからといって、 A = \sqrt{2} というわけではないのと同様である。どの環を考えているか、その環にはどのぐらい元があるのか、絶えず意識することが大事である。

※但し、もちろん上の例の二つの体や、 ℚ[\sqrt{2}] には深いつながりがある。実はこれらは体として同型である。問題 4.1. f(X) = X^{4} − 10X^{2} + 1 ∈ ℚ[X] に対して、つぎの各問いに答えなさい。 (最後の問いが重要であって、試験ならば点数が高い。 )

1. f(X) の根 (方程式 f(x) = 0 (x ∈ ℂ) の解) を全てもとめよ。

2. f(X) を ℂ[X] の元として素元分解せよ。

3. 環 ℚ[X]/(f) での X のクラスを a とおく。このとき、 (g(a))^{2} = 2 を満たすような ℚ[X] の元 g で、次数が三以下のものを一つもとめよ。

注意: 上の問題で、 f(X) は ℚ[X] の元として既約である。このことの証明は難しくはないが、繁雑であるので、ここでは証明せずに用いてもよい。 (講義で類題について解説する。 )

問題 4.2. α = \sqrt[3]{5}(∈ ℂ) とし、 x = α^{3} − α + 1 とおく。このとき、

1. f(x) = 0 を満たすものモニックな三次式 f(X) ∈ ℚ[X] を一つ求めよ。

2. f は既約であることを示せ。

3. この f に対して、体 ℚ[X]/(f) を考え、 X のこの体でのクラスを a とおく。このとき、 (g(a))^{3} = 5 となる g ∈ ℚ[X] を一つ求めよ。