代数学 II 要約 NO.5

体の間の同型前回は、多項式環をイデアルで割ることによって体を作ることがで

きることを述べた。今回は、既存の体とそのような体との比較を問題にする。鍵になるのは次の定理である。

定理 5.1. 体 k の拡大体 K と、 K \ k の元 a が与えられているとする。このとき、

1.

I = {f ∈ k[X]; f(a) = 0}

は k[X] の単項イデアルである。

2. I の生成元 f_{0} は既約である。

3. 単射環準同型

ϕ : k[X]/(f_{0}) → K : \overline{f(X)} ↦ f(a)

が存在する。

4. ϕ の像は k[a] である。

5. [k[a] : k] = deg(f_{0})

定義 5.1. 上の定理の f_{0} のことを、 a の k 上の最小多項式という。 (特に指定しなければ、最小多項式といえばモニックなものをえらぶのが普通である。 )

例 5.1.

ℚ[X]/(X^{2} − 2) ≅ ℚ[\sqrt{2}]

例 5.2.

ℝ[X]/(X^{2} + 1) ≅ ℂ

例 5.3.

ℚ[X]/(X^{4} − 16X^{2} + 4) ≅ ℚ[\sqrt{5} + \sqrt{3}]
\overline{f(X)} ↦ f(\sqrt{5} + \sqrt{3})

同様に、

ℚ[X]/(X^{4} − 16X^{2} + 4) ≅ ℚ[\sqrt{5} − \sqrt{3}]
\overline{f(X)} ↦ f(\sqrt{5} − \sqrt{3})

でもある。これは、

ℚ[\sqrt{5} + \sqrt{3}] ≅ ℚ[\sqrt{5} − \sqrt{3}]
f(\sqrt{5} + \sqrt{3}) ↦ f(\sqrt{5} − \sqrt{3})

という同型の存在を示唆している。

例 5.4.

ℚ[X]/(X^{2} − 2) ≅ ℚ[X]/(X^{2} − 2X − 1)
\overline{f(X)} ↦ \overline{f(X − 1)}

例 5.5. ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2} とおくと、

ℚ[\sqrt[3]{5}] ≅ ℚ[\sqrt[3]{5}ω]

が成り立つ。問題 5.1. ℚ[X]/(X^{2} + X + 1) と ℚ[X]/(X^{2} + 3) との間の同型写像を一つ作りなさい。 \sqrt{2} + 3\sqrt{5} + 4\sqrt{10} の ℚ[\sqrt{5}] 上の最小多項式を求めなさい。

問題 5.2. 体 ℚ[\sqrt[3]{2} + \sqrt{3}] と ℚ[X]/(f(X)) とが同型になるような f ∈ ℚ[X] を求め、実際にその同型を構成しなさい。