代数学 II 要約 No.5

前回は、多項式環をイデアルで割ることによって体を作ることができることを述べた。 今回は、既存の体とそのような体との比較を問題にする。鍵になるのは次の定理である。

定理 5.1   体 $k$ の拡大体 $K$ と、 $K\setminus k$ の元 $a$ が与えられているとする。 このとき、

1.

$$I=\{f\in k[X]; f(a)=0\}$$

は $k[X]$ の単項イデアルである。

2.

$I$ の生成元 $f_0$ は既約である。

3.

単射環準同型

$$\phi: k[X]/(f_0) \to K: \overline{f(X)}\mapsto f(a)$$

が存在する。

4.

$\phi$ の像は $k[a]$ である。

5.

$[k[a]:k]=\deg(f_0)$

定義 5.1   上の定理の $f_0$ のことを、$a$ の $k$ 上の最小多項式という。 (特に指定しなければ、最小多項式といえばモニックなものをえらぶのが 普通である。)

例 5.1  

$$\mbox{${\Bbb Q}$}[X]/(X^2-2)\cong\mbox{${\Bbb Q}$}[\sqrt{2}]$$

例 5.2  

$$\mbox{${\Bbb R}$}[X]/(X^2+1)\cong{\Bbb C}$$

例 5.3  
$$\begin{align*}\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^4-16X^2+4)&\cong\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}+\sqrt{3}]\\ \overline{f(X)}&\mapsto f(\sqrt{5}+\sqrt{3}) \end{align*}$$
同様に、
$$\begin{align*}\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^4-16X^2+4)&\cong\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}-\sqrt{3}]\\ \overline{f(X)}&\mapsto f(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \end{align*}$$
でもある。これは、
$$\begin{align*}& \mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}+\sqrt{3}]\cong\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}-\sqrt{3}]\\ & f(\sqrt{5}+\sqrt{3})\mapsto f(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \end{align*}$$
という同型の存在を示唆している。

例 5.4  
$$\begin{align*}\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2-2)&\cong\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2-2X-1)\\ \overline{f(X)}&\mapsto \overline{f(X-1)} \end{align*}$$

例 5.5   $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ とおくと、

$$\mbox{${\Bbb Q}$}[\sqrt[3]{5}]\cong\mbox{${\Bbb Q}$}[\sqrt[3]{5}\omega]$$

が成り立つ。

問題 5.1   $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ と $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ との間の同型写像を一つ作りなさい。 $\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{10}$ の $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ 上の最小多項式を 求めなさい。

問題 5.2   体 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}]$ と $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(f(X))$ とが同型になるような $f\in \mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ を求め、実際にその同型を構成しなさい。