代数学 II 要約 NO.6

中間体

定義 6.1. K は体、 k は K の部分体とする。このとき、 K と k の間の中間体とは、 K の部分体で、 k を含むもののことである。

例 6.1. ℚ[\sqrt{2}] は ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{3}] と ℚ との間の中間体である。

中間体をうまく用いると、多項式の既約性の問題がやさしくなる場合がある。

例 6.2. f(X) = X^{4} − 10X^{2} + 1 は ℚ 上既約である。 1. まず、 ℚ[\sqrt{2}] 上で

X^{4} − 10X^{2} + 1 = ((X − \sqrt{2})^{2} − 3)((X + \sqrt{2})^{2} − 3)

と分解する。

2. これは ℚ[\sqrt{2}] 上の既約分解である。

3. ℚ[X] での f の既約因子の一つを f_{1} とすると、 f_{1} は f の約数であるから、 f_{1} は定数倍の違いを除いて 1, ((X − \sqrt{2})^{2} − 3), ((X + \sqrt{2})^{2} − 3), f のいずれかのはずである。このうち、 1 は既約因子の定義により除外される。

4. f_{1} が ℚ 係数であることから、 f_{1} = f.

共役

定義 6.2. 体 K とその部分体 k が与えられているとする。 a, b ∈ K があったとき、 a, b が k 上の共役元であるとは、 a, b が k 上代数的であって、 a, b の k 上の最小多項式が (定数倍を除いて) 一致するときに言う。

定理 6.1. a, b が k 上共役ならば、体としての同型 k[a] ≅ k[b] が存在する。

例 6.3. \sqrt{2} と −\sqrt{2} とは ℚ 上共役である。

例 6.4. 四つの元 ±\sqrt{3} ± \sqrt{5} はどの二つも互いに ℚ 上共役である。

例 6.5. \sqrt[3]{5} と\sqrt[3]{5}ω (但し ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2})) とは ℚ 上互いに共役であるが、 ℚ[\sqrt[3]{5}] 上では二つは共役ではない。

定義 6.3. 体 k とその拡大体 K が与えられているとする。 K の k 自己同型 (あるいは、 k 上の自己同型) とは、 K から K への同型 ϕ であって、任意の x ∈ K に対して ϕ(x) = x が成り立つものを言う。

例 6.6. ℚ[\sqrt{2}] からそれ自身への準同型 ϕ(a+b\sqrt{2}) = a−b\sqrt{2} は ℚ[\sqrt{2}] の ℚ 上の自己同型である。

一般に、体 k から他の体 k′ への同型 ϕ : k → k′ が与えられているとき、 ϕ をつぎのように k[X] から k′[X] への同型に伸ばすことができる。これをこの講義では仮に ϕ̂ とかくことにする。 (一般的な記号ではない。 )

ϕ̂(a_{n}X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + ⋯ + a_{1}X + a_{0})
=ϕ(a_{n})X^{n} + ϕ(a_{n−1})X^{n−1} + ⋯ + ϕ(a_{1})X + ϕ(a_{0})

定理 6.2. 体 k と、その拡大体 K が与えられていて、さらに K の k 上の自己同型 ϕ が与えられているとする。もし f ∈ k[X], g ∈ K[X] があって、 f が (K[X] のなかで) g で割り切れれば、 f は (K[X] のなかで) ϕ̂(g) でも割り切れる。

この定理を用いれば、例 6.2 の f の既約性はもっと簡単に示すことができる。

問題 6.1. 出席番号 9?sm??? あるいは 00ss??? の ??? の部分が偶数の人は i)、奇数の人は ii) をとくこと。

i)\sqrt[3]{2} + \sqrt{3} の ℚ 上の最小多項式をもとめ、実際にそれが既約であることを示しなさい。さらに、\sqrt[3]{2} + \sqrt{3} と共役な ℂ の元をすべてもとめなさい。

ii)\sqrt[3]{3} + \sqrt{2} の ℚ 上の最小多項式をもとめ、実際にそれが既約であることを示しなさい。さらに、\sqrt[3]{3} + \sqrt{2} と共役な ℂ の元をすべてもとめなさい。

問題 6.2. \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} の ℚ 上の最小多項式を求め、実際にそれが既約であることを示しなさい。