代数学 II 要約 No.6

定義 6.1   $K$ は体、 $k$ は $K$ の部分体とする。このとき、$K$ と $k$ の間の 中間体とは、$K$ の部分体で、$k$ を含むもののことである。

例 6.1   $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ は $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ と $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ との 間の中間体である。

中間体をうまく用いると、多項式の既約性の問題がやさしくなる場合がある。

例 6.2   $f(X)=X^4-10X^2+1$ は $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上既約である。

1.

まず、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ 上で

$$X^4-10X^2+1= ((X-\sqrt{2})^2-3) ((X+\sqrt{2})^2-3)$$

と分解する。

2.

これは $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ 上の既約分解である。

3.

$\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ での $f$ の既約因子の一つを $f_1$ とすると、$f_1$ は $f$ の 約数であるから、 $f_1$ は定数倍の違いを除いて $1, ((X-\sqrt{2})^2-3), ((X+\sqrt{2})^2-3),f$ のいずれかのはずである。 このうち、$1$ は既約因子の定義により除外される。

4.

$f_1$ が $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 係数であることから、$f_1=f$.

定義 6.2   体 $K$ とその部分体 $k$ が与えられているとする。$a,b \in K$ が あったとき、$a,b$ が $k$ 上の共役元であるとは、$a,b$ が $k$ 上代数的であって、 $a$, $b$ の $k$ 上の最小多項式が (定数倍を除いて)一致するときに言う。

定理 6.1   $a,b$ が $k$ 上共役ならば、体としての同型 $k[a]\cong k[b]$ が存在する。

例 6.3   $\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ とは $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上共役である。

例 6.4   四つの元 $\pm \sqrt{3}\pm \sqrt{5}$ はどの二つも互いに $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上共役である。

例 6.5   $\sqrt[3]{5}$ と $\sqrt[3]{5}\omega$ (但し $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})$) とは $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上互いに共役であるが、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt[3]{5}]$ 上では二つは共役ではない。

定義 6.3   体 $k$ とその拡大体 $K$ が与えられているとする。 $K$ の $k$ 自己同型(あるいは、$k$ 上の自己同型)とは、 $K$ から $K$ への同型 $\phi$ であって、 任意の $x\in K$ に対して $\phi(x)=x$ が成り立つものを言う。

例 6.6   $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ からそれ自身への準同型 $\phi(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$は $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ の $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上の 自己同型である。

一般に、体 $k$ から 他の体 $k'$ への同型 $\phi:k\to k'$ が与えられているとき、 $\phi$ をつぎのように $k[X]$ から $k'[X]$ への同型に伸ばすことができる。 これをこの講義では仮に $\hat\phi$ とかくことにする。(一般的な記号ではない。)
$$\begin{align*}&\hat\phi( a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0)\\ =& \phi(a_n)X^n+\phi(a_{n-1})X^{n-1}+\dots+\phi(a_1)X+\phi(a_0) \end{align*}$$

定理 6.2   体 $k$ と、その拡大体 $K$ が与えられていて、さらに $K$ の $k$ 上の自己同型 $\phi$ が与えられているとする。 もし $f\in k[X]$, $g\in K[X]$ があって、 $f$ が($K[X]$ のなかで) $g$ で割り切れれば、 $f$ は ($K[X]$ のなかで) $\hat\phi(g)$ でも割り切れる。

この定理を用いれば、例6.2の $f$ の既約性はもっと簡単に示すことができる。

問題 6.1   出席番号9?sm??? あるいは 00ss??? の ??? の部分が偶数の人はi)、奇数の人は ii)をとくこと。

i) $\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}$ の $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上の最小多項式をもとめ、 実際にそれが既約であることを示しなさい。 さらに、 $\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}$ と共役な ${\Bbb C}$ の元をすべて もとめなさい。

ii) $\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}$ の $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上の最小多項式をもとめ、 実際にそれが既約であることを示しなさい。 さらに、 $\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}$ と共役な ${\Bbb C}$ の元をすべて もとめなさい。

問題 6.2   $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ の $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上の最小多項式を求め、 実際にそれが既約であることを示しなさい。