代数学 II 要約 NO.7

体の自己同型

定義 7.1 (定義 6.3 の再掲). 体 k とその拡大体 K が与えられているとする。 K の k 自己同型 (あるいは、 k 上の自己同型) とは、 K から K への同型 ϕ であって、任意の x ∈ k に対して ϕ(x) = x が成り立つものを言う。

定理 7.1. 体 K とその部分体 k が与えられていて、 k 上の K の自己同型 σ があったとする。このとき、 K の任意の元 x に対して、 x と σ(x) とは共役である。

この定理を元にして、与えられた体がどのくらい自己同型をもつか決定できる。

例 7.1. ℚ[\sqrt{2}] の ℚ 上の自己同型がどのくらいあるか求めてみよう。 ℚ[\sqrt{2}] の ℚ 上の自己同型の一つを σ とすると、上の定理により、 σ(\sqrt{2}) は\sqrt{2} と ℚ 上共役でなくてはならない。そのことから、 σ は次の二つのどちらかしかないことがわかる。

1. σ(a + b\sqrt{2}) = a + b\sqrt{2} (a, b, ∈ ℚ) (恒等写像)

2. σ(a + b\sqrt{2}) = a − b\sqrt{2} (a, b, ∈ ℚ)

補題 7.1. 体 K とその部分体 k が与えられているとする。このとき、 K の k 上の自己同型全体は (写像の同型に関して) 群をなす。

定義 7.2. 上の補題の群を K の k 上の自己同型群といい、 Aut_{k}(K) と書きあらわす。

補題 7.2. もし K が k 上環として x_{1}, x_{2}, …, x_{n} で生成されているならば、 K の k 上の自己同型 σ は σ(x_{1}), …, σ(x_{n}) によって一意に決まる。

注意:上の補題で “環として” と書いた部分を “体として” に置き換えても補題は成立する。証明の手間もほぼかわらない。

上の補題と、定理 7.1 を用いると、体の自己同型がどのくらいあるかだいたいわかる。

例 7.2. Autℚ(ℚ[\sqrt{2}]) ≅ ℤ/2ℤ.

例 7.3. Autℝ(ℂ) ≅ ℤ/2ℤ.

例 7.4. Autℚ(ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{5}]) ≅ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ.

例 7.5. Autℚ(ℚ[\sqrt[3]{2}]) = 1.

下の二例 (および問題) では、 ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2} とおく。

例 7.6. Autℚ(ℚ[\sqrt[3]{2}, ω]) = 𝔖_{3} (三次対称群).

例 7.7. Aut_{ℚ[ω]}(ℚ[\sqrt[3]{2}, ω]) = ℤ/3ℤ (三次対称群).

上の例でも見られるように、自己同型の定義から次のことが成り立つことがわかる。

補題 7.3. 三つの体 K, M, k があって、 K ⊃ M ⊃ k がなりたつとき、 Aut_{M}(K) は Aut_{k}(K) の部分群である。

今回は、問題 7.1 は出席番号が奇数番号の人用、問題 7.2 は出席番号が偶数番号の人用とする。 (7.3,7.4 にはとくに制限はない。但しそれなりに難しい。 )

問題 7.1. ℚ[\sqrt{3}, \sqrt{5}] の ℚ 上の自己同型 σ が、

σ(\sqrt{3}) = −\sqrt{3}, σ(\sqrt{15}) = \sqrt{15}

を満たしたとする。このとき、 ℚ[\sqrt{3}, \sqrt{5}] の元

x = a + b\sqrt{3} + c\sqrt{5} + d\sqrt{15} (a, b, c, d ∈ ℚ)

は σ によってどのような元に写されるか ( σ(x) はいくらか) 述べよ。さらに、この σ は実際に

σ(x)σ(y) = σ(xy)

をみたすことを、

x = a + b\sqrt{3} + c\sqrt{5} + d\sqrt{15} (a, b, c, d ∈ ℚ)
y = p + q\sqrt{3} + r\sqrt{5} + s\sqrt{15} (a, b, c, d ∈ ℚ)

とおいて確かめてみよ。

問題 7.2. ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{7}] の ℚ 上の自己同型 σ が、

σ(\sqrt{2}) = −\sqrt{2}, σ(\sqrt{14}) = \sqrt{14}

を満たしたとする。このとき、 ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{7}] の元

x = a + b\sqrt{2} + c\sqrt{7} + d\sqrt{14} (a, b, c, d ∈ ℚ)

は σ によってどのような元に写されるか ( σ(x) はいくらか) 述べよ。さらに、この σ は実際に

σ(x)σ(y) = σ(xy)

をみたすことを、

x = a + b\sqrt{2} + c\sqrt{7} + d\sqrt{14} (a, b, c, d ∈ ℚ)
y = p + q\sqrt{2} + r\sqrt{7} + s\sqrt{14} (a, b, c, d ∈ ℚ)

とおいて確かめてみよ。

問題 7.3.

1. x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0 をみたす複素数 x をすべてもとめよ。 (そのうちの一つを α とおく。 (ヒント: 全体を x^{2} でわり、 y = x + \frac{1}{x} に関する二次方程式をまずとけ。 )

2. ℚ[α] の ℚ 上の自己同型群を求めよ。

問題 7.4.

1. 体 K = ℚ[\sqrt[3]{2}, ω] のなかで、 ℚ 上\sqrt[3]{2} + ω と共役なものを全てもとめなさい。 (それらを α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, α_{5}, α_{6} とおく。 )

2. S = {α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, α_{5}, α_{6}} からそれ自身の全単射の中で、 K の ℚ 上の自己同型からは決して得られないもの (つまり、 K の ℚ 上の自己同型に拡張できないもの) を作りなさい。 (もちろん理由 (なぜ拡張できないのか) も書くこと。 )