代数学 II 要約 NO.8

単純拡大

定義 8.1. 体 K が体 k の単純拡大であるとは、ある a ∈ K があって K = k(a) が成り立つときに言う。

もし、 K = k(a) で、なおかつ K が k の有限次拡大ならば、すでに述べたように K = k[a] が成り立つ。

定理 8.1. 体 k とその有限次単純拡大体 K = k[a] が与えられているとする。 a の k 上の最小多項式を f とするとき、次のことが成り立つ。

1. | Aut_{k}(K)| = #{x ∈ K; f(x) = 0}.

2. | Aut_{k}(K)| ≤ deg(f) ≤ [K : k]

次の三つの例と補題は前回の残りである。

例 8.1. Autℚ(ℚ[\sqrt[3]{2}]) = 1.

例 8.2. Autℚ(ℚ[\sqrt[3]{2}, ω]) = 𝔖_{3} (三次対称群).

例 8.3. Aut_{ℚ[ω]}(ℚ[\sqrt[3]{2}, ω]) = ℤ/3ℤ

補題 8.1. 三つの体 K, M, k があって、 K ⊃ M ⊃ k がなりたつとき、 Aut_{M}(K) は Aut_{k}(K) の部分群である。

問題 8.1. Autℚ(ℚ[\sqrt[4]{5}]) の位数を求めよ。

問題 8.2. Autℚ(ℚ[\sqrt{2 + \sqrt{3}}]) の位数を求めよ。