代数学 II 要約 NO.9

正標数の体

補題 9.1. 環 R が与えられているとする。このとき、環準同型

ϕ : ℤ → R

が一意に存在する。 R が整域 (とくに、体) ならば、 ϕ の核 Ker(ϕ) は ℤ の素イデアルである。すなわち、次のいずれかが起こる。

• Ker(ϕ) = 0

• Ker(ϕ) = pℤ (p はある素数) この二つは、まとめて次のように書くことも出来る。

Ker(ϕ) = nℤ (n は素数または 0)

定義 9.1. 体 k が与えられているとする。このとき、上の補題の n のことを、 k の標数といい、 char(k) とかく。

例 9.1. ℚ, ℚ[\sqrt{2}], ℝ, ℂ などの標数は全て 0 である。いっぱんに、 ℚ を部分体として含む体の標数は 0 であり、逆に標数 0 の体は ℚ を部分体として含む。

標数が 0 でない体を正標数の体という。

例 9.2. 𝔽_{p} = ℤ/pℤ の標数は p である。

補題 9.2. (体を作る方法)

1. k が体で、 k[X] の既約な元 f が与えられているとすると、 k[X]/(f) も体である。

2. k が体ならば、 k(X) も体である。

補題 9.3. 体 k の標数が p ⇔ k ⊃ 𝔽_{p}.

定理 9.1. 体 k の元の個数 q が有限ならば、 q はある素数 p の巾乗である。すなわち、ある整数 n があって、

q = p^{n}

がなりたつ。

定理 9.2. 標数 p の体 k が与えられていたとする。このとき、次のことが成り立つ。

1. k の任意の元 a, b について、

(a + b)^{p} = a^{p} + b^{p}

がなりたつ。 2.

F : k ∋ x ↦ x^{p} ∈ k

は k の 𝔽_{p} 上の自己準同型写像を与える。 (この自己準同型写像をフロベニウス写像と呼ぶ。 ) k の位数が有限ならば、フロベニウス写像は k の自己同型をあたえる。 3. f(X) = X^{p} − c が k[X] の既約元であったとする。このとき、

K = k[X]/(f) は k の拡大体であり、 X の K でのクラスを a_{0} とかくと、 K[X] では、

f(X) = X^{p} − c = (X − a_{0})^{p}

がなりたつ。もっと一般に、 k の拡大体 L があって、 L の元 a が a^{p} = c を満たすならば、

f(X) = X^{p} − c = (X − a)^{p}

がなりたつ。

問題 9.1. 出席番号偶数の諸君には、 ϵ = 1 とし、奇数の諸君には、 ϵ = −1 とする。

1. f(X) = X^{2} + ϵX − 1 ∈ 𝔽_{3}[X] は既約であることを示しなさい。

2. K = 𝔽_{3}[X]/(f) における X のクラスを α とかくことにする。 K の元 a + bα (a, b ∈ 𝔽_{3}) に対して、そのフロベニウス写像による像 F (a + bα) を、 𝔽_{3} 係数の α の一次式であらわしなさい。

3. K の元 β で、 β^{2} = −1 を満たすものをすべてもとめ、 𝔽_{3} 係数の α の一次式であらわしなさい。

問題 9.2. 位数 q = p^{k} の体 k が与えられていたとする。このとき、 k のフロベニウス自己同型 F の位数を求めよ。すなわち、 F^{l} = (恒等写像) となるような最小の正整数 l をもとめよ。 (ヒント： k^{×} は有限群なので、その全ての元は x^{q−1} = 1 をみたす。したがって、 k = {x ∈ k; x^{q} = x} がなりたつ。体上の n 次方程式は n 個以下の解しかもたないことにも注意せよ。 )