代数学 II 要約 NO.11

分離拡大

定義 11.1. 体 k とその拡大体 L が与えられているとする。 k 上代数的な元 x ∈ L が与えられているとし、その k 上の最小多項式を f とする。 f が重根をもたないとき、 x は k 上分離的であるという。 (注意) 上の定義のように、 x の入っている拡大体 L は (論理的には必要だが) さして重要でない場合がある。以下ではそのようなときには、 L を明確に書かずに単に「 k 上代数的な元 x 」ですますことにする。補題 11.1. 体 k 上の多項式 f(X) に対して k[X] の元\frac{d}{dX} f(X) を形式的に定義できる。\frac{d}{dX} は k-線型で、

\frac{d}{dX} (f(X)g(X)) = (\frac{d}{dX} f(X)) g(X) + f(X) (\frac{d}{dX} g(X))

を満たす。補題 11.2. 体 k と、 k 上代数的な元 x にたいし、その k 上の最小多項式を f とおくと、次のことは同値である。

1. x は k 上分離的でない。

2. f は重根をもつ。

3. \frac{d}{dX} (f(X)) = 0

4. 体 k は正標数であり、その標数を p とおくと、 f は x^{p} の多項式である。

例 11.1. k = 𝔽_{p}(Y) 上の多項式 X^{p} − Y の根は k 上非分離的である。系 11.1. 体 k と、 k 上代数的な元 x があったとする。もし k の標数が 0 ならば、 x は k 上分離的である。もし k が有限体ならば、 x は k 上分離的である。補題 11.3. k は無限個の元を含む体であるとする。 k 上代数的な元 α, β が与えられていて、 α は k 上分離的であったとする。このとき、

1. k[α] の元はすべて k 上分離的である。

2. ある c ∈ k が存在して、 k[cα + β] = k[α, β] がなりたつ。

3. さらに β も k 上分離的であるとする。このとき上の c にたいして γ = cα + β とおくと、 γ は k 上分離的である。

定理 11.1. 体 k およびその拡大体 L が与えられているとする。このとき、

{x ∈ L; x は k 上分離的である。 }

は k を含む L の部分体である。定義 11.2. 体 k の有限次拡大体 L が与えられているとする。 L のどの元 x も k 上分離的であるとき、 L は k の分離拡大体であるという。定理 11.2. 体 k と、その有限次代数拡大体 L = k[α_{1}, α_{2}, …, α_{n}] が与えられているとする。このとき、 L が k の分離拡大体であるための必要十分条件は、 α_{1}, …, α_{n} がすべて k 上分離的であることである。定理 11.3. 無限個の元をもつ体 k の有限次分離拡大体 L は必ず単純拡大体である。

上の定理で、「無限個の元をもつ」という k の条件ははずすことができる。問題 11.3 を参照のこと。問題 11.1. つぎの α, β ∈ ℂ にたいして、 ℚ[α, β] = ℚ[cα + β] となるような c ∈ ℚ をそれぞれ求めなさい。 (理由も添えること。 )

1. α = \sqrt[3]{5}, β = \sqrt[3]{5}ω (ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2})

2. α = \sqrt{3}, β = \sqrt{2} − \sqrt{3} さらに上の各例について、 ℚ[α + β] = ℚ[α, β] がなりたつかどうか調べなさい。 (理由も添えること。 )

問題 11.2. 標数 p の体 k が与えられているとする。

1. フロベニウス写像 F : k → k が全射 (したがって、同型) ならば、 k 上の X^{p} の多項式は必ずある X の多項式の p 乗のかたちで書ける (したがって、既約ではない) ことを示しなさい。

2. F の像に入らない k の元 c があったとすると、 X^{p} − c の根は k 上分離的でないことを示しなさい。

3. k 上の代数的な元が全て分離的であることと、フロベニウス写像が全射であることは同値であることを示しなさい。

問題 11.3. 有限体 k があたえられているとする。このとき、

1. 任意の正の整数 l に対して、 {x ∈ k^{×}; x の k^{×} での位数は l} の元の個数は

φ(l)(= (1 から l までの整数の中で、 l と互いに素なものの個数) )

以下であることを示しなさい。 (ヒント:位数 l の元があったし、それを x_{0} とする。

1, x_{0}, x_{0}^{2}, x_{0}^{3}, … x_{0}^{l−1}

は全て異り (なぜか？ )、それらはすべて X^{l} − 1 の根である。したがって、 X^{l} − 1 の根はこれらですべてつくされている (なぜか)。これらのうち、 φ(l) 個が位数 l の元で、それら以外の元の位数はもっと小さい (なぜか？ )。

2. 任意の整数 n にたいして、

∑_{l は n の約数}φ(l) = n

であることを示しなさい。 (ヒント:群 (ℤ/nℤ, +) の元を位数別に分類して、各々の個数をもとめよ。 )

3. 体 k の乗法群は、巡回群であることを示しなさい。

4. 体 k の任意の有限次拡大体 L は k の単純拡大体であることを示しなさい。