代数学 II 要約 No.11

定義 11.1   体 $k$ とその拡大体 $L$ が与えられているとする。 $k$ 上代数的な元 $x\in L$ が与えられているとし、 その $k$ 上の最小多項式を $f$ とする。 $f$ が重根をもたないとき、$x$ は $k$ 上分離的であるという。

(注意) 上の定義のように、$x$ の入っている拡大体 $L$ は(論理的には必要だが) さして重要でない場合がある。以下ではそのようなときには、 $L$ を明確に書かずに単に 「$k$ 上代数的な元 $x$ 」ですますことにする。

補題 11.1   体 $k$ 上の多項式 $f(X)$ に対して $k[X]$ の元 $\frac{d}{dX}f(X)$ を 形式的に定義できる。 $\frac{d}{dX}$ は $k$-線型で、

$$\frac{d}{dX}(f(X)g(X)) =\left(\frac{d}{dX}f(X)\right)g(X) +f(X)\left(\frac{d}{dX}g(X)\right)$$

を満たす。

補題 11.2   体 $k$ と、 $k$ 上代数的な元 $x$ にたいし、その $k$ 上の最小多項式を $f$ とおくと、次のことは同値である。

1.

$x$ は $k$ 上分離的でない。

2.

$f$ は重根をもつ。

3.

$\frac{d}{dX}(f(X))=0$

4.

体 $k$ は正標数であり、その標数を $p$ とおくと、$f$ は $x^p$ の 多項式である。

例 11.1   $k={\Bbb F}_p(Y)$ 上の多項式 $X^p-Y$ の根は $k$ 上非分離的である。

系 11.1   体 $k$ と、$k$ 上代数的な元 $x$ があったとする。 もし $k$ の標数が $0$ ならば、$x$ は $k$ 上分離的である。 もし $k$ が有限体ならば、$x$ は $k$ 上分離的である。

補題 11.3   $k$ は 無限個の元を含む体であるとする。 $k$ 上代数的な元 $\alpha,\beta$ が与えられていて、$\alpha$ は $k$ 上 分離的であったとする。このとき、

1.

$k[\alpha]$ の元はすべて $k$ 上分離的である。

2.

ある $c\in k$ が存在して、 $k[c\alpha+\beta]=k[\alpha,\beta]$ がなりたつ。

3.

さらに $\beta$ も $k$ 上分離的であるとする。 このとき上の $c$ にたいして $\gamma=c\alpha+\beta$ とおくと、 $\gamma$ は $k$ 上分離的である。

定理 11.1   体 $k$ およびその拡大体 $L$ が与えられているとする。 このとき、

$$\{x\in L; \text{$x$ は $k$ 上分離的である。}\}$$

は $k$ を含む $L$ の部分体である。

定義 11.2   体 $k$ の有限次拡大体 $L$ が与えられているとする。 $L$ のどの元 $x$ も $k$ 上分離的であるとき、 $L$ は $k$ の分離拡大体であるという。

定理 11.2   体 $k$ と、その有限次代数拡大体 $L=k[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n]$が与えられているとする。このとき、$L$ が $k$ の分離拡大体であるための 必要十分条件は、 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ がすべて $k$ 上 分離的であることである。

定理 11.3   無限個の元をもつ体 $k$ の有限次分離拡大体 $L$ は必ず単純拡大体である。

上の定理で、「無限個の元をもつ」という $k$ の条件ははずすことができる。 問題11.3を参照のこと。

問題 11.1   つぎの $\alpha,\beta\in {\Bbb C}$ にたいして、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\alpha,\beta]=\mbox{${\Bbb Q}$ }[c\alpha+\beta]$となるような $c\in \mbox{${\Bbb Q}$ }$ をそれぞれ求めなさい。(理由も添えること。)

1.

$\alpha=\sqrt[3]{5},\quad \beta=\sqrt[3]{5}\omega$      $(\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})$

2.

$\alpha=\sqrt{3},\beta=\sqrt{2}-\sqrt{3}$

さらに上の各例について、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\alpha+\beta]=\mbox{${\Bbb Q}$ }[\alpha,\beta]$ がなりたつかどうか調べなさい。(理由も添えること。)

問題 11.2   標数 $p$ の体 $k$ が与えられているとする。

1.

フロベニウス写像 $F:k\to k$ が全射(したがって、同型)ならば、 $k$ 上の $X^p$ の多項式は必ずある $X$ の多項式の $p$ 乗のかたちで書ける (したがって、既約ではない) ことを示しなさい。

2.

$F$ の像に入らない $k$ の元 $c$ があったとすると、 $X^p-c$ の根は $k$ 上分離的でないことを示しなさい。

3.

$k$ 上の代数的な元が全て分離的であることと、フロベニウス写像が 全射であることは同値であることを示しなさい。

問題 11.3   有限体 $k$ があたえられているとする。このとき、

1.

任意の正の整数 $l$ に対して、 $\{x\in k^\times; \text{$x$\space の $k^\times$\space での位数は $l$ } \}$ の元の個数は

$$\varphi(l) (=\text{($1$ から $l$ までの整数の中で、 $l$ と互いに素なものの個数)})$$

以下であることを示しなさい。 (ヒント:位数 $l$ の元があったし、それを$x_0$ とする。

$$1,x_0,x_0^2,x_0^3,\dots x_0^{l-1}$$

は全て異り(なぜか？)、それらはすべて $X^l-1$ の根である。 したがって、$X^l-1$ の根はこれらですべてつくされている(なぜか)。 これらのうち、 $\varphi(l)$ 個が位数 $l$ の元で、それら以外の元の位数は もっと小さい(なぜか？)。

2.

任意の整数 $n$ にたいして、

$$\sum_{\text{$l$ は $n$ の約数}}\varphi(l)=n$$

であることを示しなさい。 (ヒント:群 $({\mbox{${\Bbb Z}$ }}/n{\mbox{${\Bbb Z}$ }},+)$ の元を位数別に分類して、各々の個数をもとめよ。)

3.

体 $k$ の乗法群は、巡回群であることを示しなさい。

4.

体 $k$ の任意の有限次拡大体 $L$ は $k$ の単純拡大体で あることを示しなさい。