代数学 II 要約 NO.12

分離拡大 (先週の残り)

補題 12.1. k は無限個の元を含む体であるとする。 k 上代数的な元 α, β が与えられていて、 α は k 上分離的であったとする。このとき、

1. k[α] の元はすべて k 上分離的である。

2. ある c ∈ k が存在して、 k[cα + β] = k[α, β] がなりたつ。

3. さらに β も k 上分離的であるとする。このとき上の c にたいして γ = cα + β とおくと、 γ は k 上分離的である。

上の補題の c の選びかた。

α の k 上の共役を α = α_{1}, α_{2}, …, α_{l} とし、 β の k 上の共役を β = β_{1}, β_{2}, …, β_{m} とするとき、 c は、

\frac{β_{j} − β}{α_{i} − α} (i = 2, 3, …, l; j = 1, 2, 3, …, m)

のどれとも異るように選べばよい。

定理 12.1. 体 k およびその拡大体 L が与えられているとする。このとき、

{x ∈ L; x は k 上分離的である。 }

は k を含む L の部分体である。

定義 12.1. 体 k の有限次拡大体 L が与えられているとする。 L のどの元 x も k 上分離的であるとき、 L は k の分離拡大体であるという。

定理 12.2. 体 k と、その有限次代数拡大体 L = k[α_{1}, α_{2}, …, α_{n}] が与えられているとする。このとき、 L が k の分離拡大体であるための必要十分条件は、 α_{1}, …, α_{n} がすべて k 上分離的であることである。

定理 12.3. 無限個の元をもつ体 k の有限次分離拡大体 L は必ず単純拡大体である。

ガロア拡大

正規拡大で、かつ分離拡大であるものを、ガロア拡大という。

定理 12.4. 体 k と、その有限次ガロア拡大体 L が与えられているとする。このとき、

# Aut_{k}(L) = [L : k]

がなりたつ。

(注意)

一般に、 L が k の単純拡大ならば、

# Aut_{k}(L) ≤ [L : k]

が成り立つのであった (定理 8.1)。実は、この不等式は L が k の単純拡大でなくとも、いつでも成り立つ。問題 12.3 を参照のこと問題 12.1. α = \sqrt{5 + \sqrt{2}} とおく。このとき、

1. f(α) = 0 となるモニックな 4 次式 f ∈ ℚ[X] を一つ与えなさい。 2. 上の多項式 f の根を全て求めなさい。

3. α は ℚ[\sqrt{2}] の元ではないことを示しなさい。 (ヒント:もし、 ℚ[\sqrt{2}] の元 β で、 β^{2} = 5 + \sqrt{2} となるものがあったとすると、\sqrt{23} ∈ ℚ[\sqrt{2}].)

4. ℚ[α] を部分体として含む ℚ のガロア拡大は、かならず M = ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{23}] を部分体として含むことを示しなさい。

5. α は M には属さないことを示しなさい。 (ヒント: M の元はかならず x + y\sqrt{23} (x, y ∈ ℚ[\sqrt{2}]) と書くことができる。それを二乗して 5 + \sqrt{2} になることがあるかどうか、たしかめよ。 )

6. ℚ[α] を含む ℚ の最小のガロア拡大はなにか。

問題 12.2. 𝔽_{p} と、その n 次代数拡大 L が与えられたとする。このとき、

1. Aut_{𝔽_{p}}(L) の位数を求めよ。

2. フロベニウス写像 F の位数を求めよ。

3. Aut_{𝔽_{p}}(L) の群構造を決定せよ。

問題 12.3. 体 k とその代数拡大体 L が与えられているとする。このとき、

1.

M = {x ∈ L; ∃l ∈ ℤs.t.x^{p^{l}} ∈ k}

は k を部分体として含む含む L の部分体であることを示しなさい。 2. 任意の f ∈ Aut_{k}(L) にたいして、 f|M = id であることを示しな

さい。

3. L は M 上の分離拡大であることを示しなさい。

4. L は M の単純拡大であること (No. 11 と問題 11.3 を参照のこと) を利用して、不等式 # Aut_{k}(L) ≤ [M : k] ≤ [L : k] がなりたつことを示しなさい。 (ヒント:No.8 も参照のこと)

問題 12.4. k の有限次拡大体 L が、

# Aut_{k}(L) = [L : k]

をみたすならば、 L は k のガロア拡大であることを示しなさい。