代数学 II 要約 NO.13

ガロアの基本定理以下では、証明の便のため、 k は無限個の元をもつ体であるとする。

(以前の問題の結果を用いれば、この条件は取り除くことができる。 )

定義 13.1. 体 k とその拡大体 L とが与えられているとする。 Aut_{k}(L) の部分群 H にたいし、

L_{H} = {x ∈ L; ∀h ∈ H にたいして、 h(x) = x がなりたつ }

と定義する。 (これは体になることが容易にわかる。 ) L_{H} のことを、 H による不変体と呼ぶ。

補題 13.1. 体 k とそのガロア拡大体 L とが与えられているとする。 Aut_{k}(L) の任意の部分群 H にたいし、次のことが成り立つ。

1. L の任意の元 x にたいし、

{h(x); h ∈ H}

の対称式は L_{H} に属する。 2.

[L : L_{H}] = #H

がなりたつ。

定理 13.1. 体 k とそのガロア拡大体 L とが与えられているとする。このとき、

1. L と k との間の任意の中間体 M にたいして、 L は M のガロア拡大であり、 Aut_{M}(L) は G = Aut_{k}(L) の部分群である。

2. Aut_{k}(L) の部分群 H に対して、 L_{H} は k と L の間の中間体である。

3. 上の二つの対応は互いに逆対応を与える。すなわち、 G の部分群と、 L と k の間の中間体とは一対一に対応する。

4. 上の対応で、 k の正規拡大に対応するのは G の正規部分群である。

(例題)

1. ℚ[\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}] の ℚ 上の拡大次数を求めよ。

2. \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} の ℚ 上の最小多項式を求めよ。

3. ℚ[\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}] の部分体を全て求めよ。

4. ℚ[\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}] の ℚ 上の拡大次数を求めよ。

5. ℚ[\sqrt{2 + \sqrt{3}}] をふくむ ℚ のガロア拡大のうち最小のもの L_{1} を求めよ。

6. L_{1} の部分体を全て求めよ。

7. ℚ[\sqrt{2 + \sqrt{5}}] をふくむ ℚ のガロア拡大のうち最小のもの L_{2} を求めよ。

8. L_{2} の部分体を全て求めよ。

9. γ = \sqrt{2} + \sqrt{3} とする。\sqrt{2} の ℚ 上の最小多項式 f(X) = X^{2} − 2 と\sqrt{3} の ℚ 上の最小多項式 g(X) = X^{2} − 3 にたいして、 f(X) と g(γ − X) との最大公約数をもとめよ。 (答えは ℚ(γ) 係数の多項式として書くこと) さらに、\sqrt{2} を γ の ℚ 係数の有理式として表現せよ。

10. 前問で、\sqrt{2}, \sqrt{3} のかわりに\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3} ならどうか。あるいは、\sqrt{2}+ 1, \sqrt{3} + 5 ではどうか。