代数学 II 補遺

次の定理を証明するのを抜かしていました。すみません。証明は簡単なので、以下では略証のみを書いておきます。

定理 0.1. 体 k とその有限次拡大体 L との間の中間体 M に対して、

[L : k] = [L : M][M : k]

がなりたつ。

[証明] [L : M] = e, [M : k] = f とおく。定義により、

M = kv_{1} + kv_{2} + ⋯ + kv_{f}(直和)
L = Mw_{1} + Mw_{2} + ⋯ + Mw_{e}(直和)

をみたすような v_{1}, v_{2}, …, v_{f} ∈ M, w_{1}, w_{2}, …, w_{e} ∈ L が存在する。

L = ∑_{ij} k w_{i}v_{j}

がなりたち、これが直和であることもすぐに確かめられるので、 ef 個の元

{w_{i}v_{j}; i = 1, …, e, j = 1, …, f}

は k 上の L の基底を与えていることが分かる。すなわち、等式

[L : k] = ef = [L : M][M : k]

が成り立つことが分かる。

上の定理を使えば、例えば ℚ の 4 次拡大 L が ℚ の 3 次拡大を含むことはないことなどがわかります。 (なぜだか考えてみてください。 )

なお、 No.11 のレポートで、例えば α = \sqrt[3]{5}, β = \sqrt[3]{5}ω にたいして、 ℚ[α, β] = ℚ[cα + β] となるような c ∈ ℚ を求めよ、という問題について、「求め方が分からない (教えてもらってない?) から、解答できない。」と答えた人がいますが、たぶんそのような人でも、

ℚ[α, β] = ℚ[2α + β] を示せ

という問題にすれば解答できたと思われます。ちょっとした考え方の変更で、本当は対処できる問題が解けないのはもったいない話です。

土基善文