代数学 II 解答 NO.5

問題 5.1(前半)

ℚ[X]/(X^{2} + X + 1) と ℚ[X]/(X^{2} + 3) との間の同型写像を一つ作りなさい。 (解答)

以下では多項式 f ∈ Q[X] の ℚ[X]/(X^{2} + X + 1), ℚ[X]/(X^{2} + 3) でのクラスをそれぞれ f̃, f̄ という風に表記することにする。

ℚ[X]/(X^{2} + 3) の元 a を、

a = \frac{\overline{X} − 1}{2}

で定義すると、 a は

a^{2} + a + 1 = 0

を満たすことが容易にわかる。ゆえに、環準同型写像

φ :ℚ[X]/(X^{2} + X + 1)→ℚ[X]/(X^{2} + 3)
{ \atop p(X)}  ↦p(a)

がうまく定義される。 X^{2} +X +1 は ℚ 上既約であるから、 ℚ[X]/(X^{2} + X+1) は体。ゆえに、この環準同型写像 ϕ は単射である。他方、 ℚ[X]/(X^{2}+ 3) の元として、

X̄ = 2a + 1

であるから、 ℚ[X]/(X^{2} + 3) は a によって生成される。したがって、 ϕ は全射であることがわかる。

(考え方) ℚ[X]/(X^{2} + X + 1) と ℚ[X]/(X^{2} + 3) のように、同じ集合 ℚ[X] を二つの異なるやり方で類別することは、よく行われることではあるが、諸君はかなり混乱していたようである。したがって、以下ではちょっと記号を変えて、

ℚ[X]/(X^{2} + X + 1) ≅ ℚ[Y]/(Y^{2} + 3)

という同型の作り方を考えてみることにしよう。上の解答と同様に、 f(X) ∈ ℚ[X] の ℚ[X]/(X^{2} + X + 1) でのクラスは X̃, g(Y) ∈ ℚ[Y] の ℚ[Y]/(Y^{2} + 3) でのクラスは Ȳ で表記することにする。

順を追って見てみよう。 [step 1] ℚ[X]/(X^{2} + X + 1) では、 X̃ は\frac{−1+\sqrt{−3}}{2} と同じ役目をし、 ℚ[Y]/(Y^{2} + 3) では、 Ȳ は\sqrt{−3} と同じ役目をしている。\sqrt{−3} が両方にでて来る所がポイントである。

2 代数学 II 解答 NO.5

[step 2] 互いに歩み寄ってみる。 step 1 から、 ℚ[X]/(X^{2} + X + 1) では、 2X̃ + 1 が、\sqrt{−3} と同じ役目をしているし、 ℚ[Y]/(Y^{2} + 3) では、 \frac{Ȳ −1}{2} が\frac{−1+\sqrt{−3}}{2} の役目をしている。

この問いではどちらの体からでも他方の体に向けての同型写像が定義できる。その定義のもとになるのはこの考察である。 [step 3] 同じ役目をしているもの同士を対応させる。

ここでは考えをしぼるために、 ℚ[X]/(X^{2}+X+1) から ℚ[Y]/(Y^{2}+3) への対応を考えることにしよう。このさい、基本的になるのは、

X̃ はどの元に対応させるべきか。

である。 X̃ と同じ働きをする元に対応させねばならない。 step 2 から、\frac{Ȳ −1}{2} を対応させればよかろう、ということになる。 [step 4] X̃ に a = \frac{Ȳ −1}{2} を対応させるとして、あとのものはどう対応するのか。対応が準同型になるためには、

X̃ ↦ a
X̃^{2} ↦ a^{2}
X̃^{3} ↦ a^{3}
X̃^{4} ↦ a^{4}
X̃^{5} ↦ a^{5}
…

と対応せねばならない。このことから、たとえば、

ϕ(6X̃^{3} + 5X̃ + 2) = 6a^{3} + 5a + 2

と対応させるべきであることがわかる。このような式を一般的に書くと、

ϕ({ \atop p(X)}) = p(a)

となるわけである。一見抽象的に見える式も、意味さえわかれば大したことがないことに気づくと思う。

しかし、今回のレポートではわけもわからずに「猿真似」して変な式を書いてある答案も多かった。 [step 5] 対応はうまく定義されているか？ようは、

{ \atop p(X)} = { \atop q(X)} ⟹ p(a) = q(a)

が成り立っているか？ということになるわけだ。これは定理 4.3 の議論の内容である。準同型定理の意味が問われている、と言ってもよい。

あとは解答に述べた通りである。 (後半) \sqrt{2} + 3\sqrt{5} + 4\sqrt{10} の ℚ[\sqrt{5}] 上の最小多項式を求めなさい。

X^{2} − 6\sqrt{5}X − 117 − 16\sqrt{5} (= (X − 3\sqrt{5})^{2} − 2(1 + 4\sqrt{5})^{2}) 実際、 X = \sqrt{2} + 3\sqrt{5} + 4\sqrt{10} はこの多項式の根である。この多項式が ℚ[\sqrt{5}] 上既約であることは、次のようにしてわかる。

もし、この多項式 (二次式) が ℚ[\sqrt{5}] 上既約でなければ、 ℚ[\sqrt{5}] のなかに根 x をもつはずである。この x に対して、

y = \frac{x − 3\sqrt{5}}{1 + 4\sqrt{5}}

とおくと、

y^{2} = 2

すなわち y は ℚ[\sqrt{5}] のなかで 2 の平方根を与えていることがわかる。これは、いつもの手法を使って、矛盾を生じることがわかる。ゆえに、実際にはそのような x はなく、当該多項式は既約であることがわかった。

(考え方)

λ = \sqrt{2} + 3\sqrt{5} + 4\sqrt{10}

とおく。この式で、 ℚ[\sqrt{5}] の元に着目しながら

λ = 3\sqrt{5} + (1 + 4\sqrt{5})\sqrt{2}

とまとめてみると、\sqrt{2} の部分が ℚ[\sqrt{5}] に入らない問題の部分だと気づく。これを消すには、\sqrt{2} の部分を二乗するかたちにもっていけばいい。すなわち、まず、

λ − 3\sqrt{5} = (1 + 4\sqrt{5})\sqrt{2}

と移項して、両辺を二乗すればよい。あとは単純計算である。