代数学 II 解答 No.5

問題 5.1(前半)

$\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ と $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ との間の同型写像を一つ作りなさい。

(解答)

以下では多項式 $f\in Q[X]$ の $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$, $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ でのクラスを それぞれ $\tilde{f}, \bar{f}$ という風に表記することにする。

$\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ の元 $a$ を、

$$a=\frac{\overline{X}-1}{2}$$

で定義すると、$a$ は

$$a^2+a+1=0$$

を満たすことが容易にわかる。 ゆえに、環準同型写像

がうまく定義される。 $X^2+X+1$ は $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上既約であるから、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ は体。ゆえに、 この環準同型写像 $\phi$ は単射である。 他方、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ の元として、

$$\bar{X}=2a+1$$

であるから、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ は $a$ によって生成される。 したがって、$\phi$ は全射であることがわかる。

(考え方) $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ と $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ のように、同じ集合 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ を 二つの異なるやり方で類別することは、よく行われることではあるが、 諸君はかなり混乱していたようである。 したがって、以下ではちょっと記号を変えて、

$$\mbox{${\Bbb Q}$}[X]/(X^2+X+1)\cong\mbox{${\Bbb Q}$}[Y]/(Y^2+3)$$

という同型の作り方を考えてみることにしよう。上の解答と同様に、 $f(X)\in \mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ の $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ でのクラスは $\tilde{X}$, $g(Y)\in \mbox{${\Bbb Q}$ }[Y]$ の $\mbox{${\Bbb Q}$ }[Y]/(Y^2+3)$ でのクラスは $\bar{Y}$ で表記することにする。

順を追って見てみよう。

[step 1] $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ では、 $\tilde{X}$ は $\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ と 同じ役目をし、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[Y]/(Y^2+3)$ では、$\bar{Y}$ は $\sqrt{-3}$ と 同じ役目をしている。$\sqrt{-3}$ が両方にでて来る所がポイントである。

[step 2] 互いに歩み寄ってみる。 step 1から、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ では、 $2\tilde{X}+1$ が、$\sqrt{-3}$ と 同じ役目をしているし、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[Y]/(Y^2+3)$ では、 $\frac{\bar{Y}-1}{2}$ が $\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ の役目をしている。

この問いではどちらの体からでも他方の体に向けての 同型写像が定義できる。その定義のもとになるのはこの考察である。

[step 3] 同じ役目をしているもの同士を対応させる。

ここでは考えをしぼるために、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ から $\mbox{${\Bbb Q}$ }[Y]/(Y^2+3)$への対応を考えることにしよう。このさい、基本的になるのは、

$\tilde{X}$ はどの元に対応させるべきか。

である。$\tilde{X}$ と同じ働きをする元に対応させねばならない。 step 2 から、 $\frac{\bar{Y}-1}{2}$ を対応させればよかろう、 ということになる。

[step 4] $\tilde{X}$ に $a=\frac{\bar{Y}-1}{2}$ を対応させるとして、 あとのものはどう対応するのか。 対応が準同型になるためには、
$$\begin{align*}&\tilde{X} \mapsto a\\ &\tilde{X}^2 \mapsto a^2\\ &\tilde{X}^3 \... ...3\\ &\tilde{X}^4 \mapsto a^4\\ &\tilde{X}^5 \mapsto a^5\\ &\dots \end{align*}$$
と対応せねばならない。このことから、たとえば、

$$\phi(6\tilde{X}^3+5\tilde{X}+2) =6a^3+5a+2$$

と対応させるべきであることがわかる。 このような式を一般的に書くと、

$$\phi(\widetilde{p(X)})=p(a)$$

となるわけである。一見抽象的に見える式も、意味さえわかれば 大したことがないことに気づくと思う。

しかし、今回のレポートではわけもわからずに「猿真似」して 変な式を書いてある答案も多かった。

[step 5] 対応はうまく定義されているか？ ようは、

$$\widetilde{p(X)}=\widetilde{q(X)} \implies p(a)=q(a)$$

が成り立っているか？ということになるわけだ。 これは定理4.3 の議論の内容である。準同型定理の意味が問われている、 と言ってもよい。

あとは解答に述べた通りである。

(後半) $\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{10}$ の $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ 上の最小多項式を 求めなさい。

$$X^2-6\sqrt{5}X-117-16\sqrt{5}\quad (=(X-3\sqrt{5})^2-2(1+4\sqrt{5})^2)$$

実際、 $X=\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{10}$ はこの多項式の根である。

この多項式が $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ 上既約であることは、次のようにしてわかる。 もし、この多項式(二次式)が $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ 上既約でなければ、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ のなかに根 $x$ をもつはずである。この $x$ に対して、

$$y=\frac{x-3\sqrt{5}}{1+4\sqrt{5}}$$

とおくと、

$$y^2=2$$

すなわち $y$ は $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ のなかで $2$ の平方根を 与えていることがわかる。 これは、いつもの手法を使って、矛盾を生じることがわかる。 ゆえに、実際にはそのような $x$ はなく、当該多項式は既約であることがわかった。

(考え方)

$$\lambda=\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{10}$$

とおく。この式で、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ の元に着目しながら

$$\lambda=3\sqrt{5}+(1+4\sqrt{5})\sqrt{2}$$

とまとめてみると、$\sqrt{2}$ の部分が $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ に入らない問題の部分だと 気づく。これを消すには、 $\sqrt{2}$ の部分を二乗するかたちにもっていけばいい。 すなわち、まず、

$$\lambda-3\sqrt{5}=(1+4\sqrt{5})\sqrt{2}$$

と移項して、両辺を二乗すればよい。あとは単純計算である。