代数学特論 I 要約 NO.1

本講義の目的 R が体 k 上の 1 変数多項式環 k[X] のときと整数環 ℤ の時のそれぞれについて、 R のイデアル I と、 R/I

の様子を、とくに R/I が整域でない時を中心に調べる。今日のテーマ: 環の直積分解

定義 1. R_{1}, R_{2} は単位元をもつ環であるとする。このとき、 R_{1}, R_{2} の環としての直積とは、デカルト積集合 R_{1} × R_{2} の上に、次のような演算を定義した物である。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) × (c, d) = (ac, bd)

R_{1} と R_{2} の環としての直積を、普通 R_{1} × R_{2} と書く。

補題 1. R_{1}, R_{2} は環であるとする。このとき、 1. R_{1} × R_{2} は環になる。

2. R_{1}, R_{2} の単位元がそれぞれ 1_{R_{1}}, 1_{R_{2}} とすると、 R_{1} × R_{2} の単位元は (1_{R_{1}}, 1_{R_{2}}) である。

3. R_{1}, R_{2} がともに可換ならば、 R_{1} × R_{2} も可換である。

定理 1. R は単位元をもつ可換環であるとする。次の性質をもつ R のイデアル I, J が存在すると仮定する。

∃s ∈ I と ∃t ∈ J があって s + t = 1 をみたす。

このとき、 R/(I ∩ J) は R/I × R/J と同型である。

次の二つの補題を用いると、上の定理の適用例がたくさん作れる。

補題 2. 単位元をもつ可換環 R の元 x, y, a, b が、関係式 ax + by = 1 を満たせば、 1. I = (x), J = (y) は定理 1 の仮定を満たす。

2. I ∩ J = (xy) である。

補題 3. R が PID で、その二つの元 x, y ∈ R \ {0} が共通の素因子をもたなければ、 ax + by = 1 となる R の元 a, b が存在する。

系 1 (環の直積分解の具体例). 1. ℤ/12ℤ は ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ と同型である。 2. ℂ[X]/(X^{2} − X) は ℂ[X]/(X) × ℂ[X]/(X − 1) と同型である。

環の直積分解においては、二つの基本的な元が重要な役割を果たす。

補題 4. 1. R_{1}, R_{2} は単位元をもつ可換環であるとする。このとき R_{1} × R_{2} の元 e_{1}, e_{2} を、 e_{1} = (1, 0), e_{2} = (0, 1) によって定めると、次のことが成り立つ。

e_{1}^{2} = e_{1}, e_{2}^{2} = e_{2}, e_{1} + e_{2} = 1, e_{1}e_{2} = 0 (★)

2. R は単位元をもつ可換環であるとする。もし R の元 e_{1}, e_{2} で、 (★) を満たすものが存在すれば、 R は R/(e_{1}) × R/(e_{2}) と同型になる。

上の補題により、環を直積分解したいときには、 (★) を満たす元 e_{1}, e_{2} を探せばいいことがわかる。 e_{1}, e_{2} のことを (直積分解に対応する) 射影と呼ぶ。 ※三つの環 R_{1}, R_{2}, R_{3} の直積も二つの場合と同様に定義される。環 (R_{1} × R_{2}) × R_{3} は R_{1} × R_{2} × R_{3} と同型である。４つ以上でも同様。

問題 1.1. 諸君の出席番号を k とする。 (たとえば 97sm150 なら k = 150)

113 で割ったら 1 あまり、 353 や 151 で割ると割り切れる正の整数 l で、最小のものを求めよ。 {1. \atop 2.} ある整数 n を 113 で割ったら 1 余り、 353 で割ったら 2 余り、 151 で割ったら k 余ったとする。この

とき、 n を 113 × 353 × 151 で割った余りはいくらか？