代数学特論 I 要約 NO.2

今日のテーマ:

行列の固有値と弱固有空間

今回は、 k といえば体を指すものとする。

定義 2.1. M_{n}(k) の元 A が与えられたとする。もし A の最小多項式とは、 f(A) = 0 を満たすような f ∈ k[X] \ {0} のうち次数が最小のもののことである。

補題 2.1. M_{n}(k) の元 A が与えられたとする。このとき、 1. A の最小多項式 f は定数倍を除いて一意に存在する。

2. 環としての同型 k[A] ≅ k[X]/(f) がなりたつ。

補題 2.2. M_{n}(k) の元 A が与えられたとし、その最小多項式を f とする。このとき、任意の a ∈ k に対して、

A − aE は可逆行列⇔ f(a) ≠ 0

がなりたつ。

定義 2.2. A の最小多項式 f の根 (重複は考慮しない) を f の固有値と呼ぶ。

(注意) 重複を考慮した固有値の定義には次の Cayley-Hamilton の定理が必要になる。

定理 (Cayley-Hamilton). n-次の正方行列 A に対して、その固有多項式 Φ_{A} を

Φ_{A}(X) = det(XE − A)

で定義する。このとき、 Φ_{A}(A) = 0 がなりたつ。

この定理の証明については次回に述べる。さしあたって今日 (のレポート問題) はこの定理を眺めて A の最小多項式の候補を見付けることだけで満足しておくことにする。

直和分解と巾等行列の関係について復習しておこう。

補題 2.3. P ∈ M_{n}(k) が巾等 (P^{2} = P) ならば、次のことが成り立つ。 1. Q = E − P も巾等であり、

P Q = 0, QP = 0, P^{2} = P, Q^{2} = Q, P + Q = E

がなりたつ。

2. k^{n} の元 v は

v = v_{1} + v_{2} (v_{1} ∈ Image(P), v_{2} ∈ Image(Q))

と一意的に書ける。 (すなわち、 k^{n} は Image(P) と Image(Q) との直和である。補題 2.4. 任意の A ∈ M_{n}(k) と任意の a ∈ k に対して次のような k^{n} の直和分解 k^{n} = V ⊕ W が存在する

1. AV ⊂ V, AW ⊂ W.

2. V 上では A − aE は巾零 ( つまり、 V 上の A の最小多項式は (X − a)^{l} (∃l).)

3. W 上では A は可逆 ( つまり、 W 上の A の最小多項式は a を解にもたない )

補題 2.5. A ∈ M_{n}(k) が与えられていて、その最小多項式 f が k 上の多項式として一次式の積に分解できた

f(X) = (X − λ_{1})^{e_{1}}(X − λ_{2})^{e_{2}}(X − λ_{3})^{e_{3}} … (X − λ_{l})^{e_{l}}

とする。このとき、 k^{n} の直和分解

k^{n} = V_{1} ⊕ V_{2} ⊕ V_{3} ⊕ ⋯ ⊕ V_{l}

で、 1. AV_{i} ⊂ V_{i}

2. 各 V_{i} 上では A − λ_{i}E は巾零となるものが存在する。 V_{i} は次の諸性質を満たす。

1. V_{i} での A の最小多項式はちょうど (X − λ_{i})^{e_{i}} である。

2. V_{i} = {v ∈ k^{n}; A^{N}v = 0 (∃N > 0)}

3. V_{i} = {v ∈ k^{n}; A^{e_{i}}v = 0}

4. ある p_{i} ∈ k[X] があって、 P_{i} = p_{i}(A) は巾等 (P_{i}^{2} = P_{i}) かつ、 V_{i} = P_{i}(k^{n}) がなりたつ。

定義 2.3. V_{i} のことを A の固有値 λ_{i} に属する弱固有空間と呼び、 P_{i} のことを V_{i} に対応する射影と呼ぶ。。

問題 2.1. 次の (複素数を成分にもつ) 各行列の固有値 (重複は考慮しない) と、それに属する弱固有空間に対応する射影を全て求めよ。

1.

(\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix})

2.

(\begin{matrix}5 & 2 \\ −3 & 0 \end{matrix})

3.

(\begin{matrix}3 & 1 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{matrix})