代数学特論 I 要約 NO.3

今日のテーマ:

行列の固有値と弱固有空間 II ・ Cayley Hamilton の定理

今回も、 k といえば体を指すものとする。前回、次の補題を証明し残した。

補題 3.1 (前回の補題 2.5). A ∈ M_{n}(k) が与えられていて、その最小多項式 f が k 上の多項式として一次式の積に分解できた

f(X) = (X − λ_{1})^{e_{1}}(X − λ_{2})^{e_{2}}(X − λ_{3})^{e_{3}} … (X − λ_{l})^{e_{l}}

とする。このとき、 k^{n} の直和分解

k^{n} = V_{1} ⊕ V_{2} ⊕ V_{3} ⊕ ⋯ ⊕ V_{l}

で、 1. AV_{i} ⊂ V_{i}

2. 各 V_{i} 上では A − λ_{i}E は巾零となるものが存在する。 V_{i} は次の諸性質を満たす。

1. V_{i} での A の最小多項式はちょうど (X − λ_{i})^{e_{i}} である。

2. V_{i} = {v ∈ k^{n}; A^{N}v = 0 (∃N > 0)}

3. V_{i} = {v ∈ k^{n}; A^{e_{i}}v = 0}

4. ある p_{i} ∈ k[X] があって、 P_{i} = p_{i}(A) は巾等 (P_{i}^{2} = P_{i}) かつ、 V_{i} = P_{i}(k^{n}) がなりたつ。

定義 3.1 (前回の定義 2.3). V_{i} のことを A の固有値 λ_{i} に属する弱固有空間と呼び、 P_{i} のことを V_{i} に対応する射影と呼ぶ。。定理 (Cayley-Hamilton). n-次の正方行列 A に対して、その固有多項式 Φ_{A} を

Φ_{A}(X) = det(XE − A)

で定義する。このとき、 Φ_{A}(A) = 0 がなりたつ。問題 3.1. 次の (複素数を成分にもつ) 各行列の固有値 (重複は考慮しない) と、それに属する弱固有空間に対応する射影を全て求めよ。

1.

(\begin{matrix}3 & 1 & 9 & 8 \\ −1 & 1 & 7 & 6 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & −3 & 0 \end{matrix})

2.

(\begin{matrix}3 & 1 & 1 & 2 \\ −1 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & −1 & 1 \end{matrix})