代数学特論 I 要約 NO.4

今日のテーマ: 行列のジョルダンの標準系

今回も、 k といえば体を指すものとする。

補題 1. A ∈ M_{n}(k) が与えられているとする。 k^{n} の直和分解

k^{n} = V ⊕ W

があって、 AV ⊂ V かつ AW ⊂ W をみたすなら、ある正則行列 P ∈ M_{n}(k) があって、 P AP^{−1} は

P AP^{−1} = (\begin{matrix}X & 0 \\ 0 & Y \end{matrix} ) (X, Y のサイズはそれぞれ V, W の次元に等しい。 )

とブロック分割される。

上の補題と前回までの結果を組み合わせると次の補題が得られる。

補題 2. A ∈ M_{n}(k) が与えられているとする。 A の固有多項式 Φ_{A}(X) が k[X] のなかで一次式の積に分解される

Φ_{A}(X) = (X − λ_{1})^{e_{1}}(X − λ_{2})^{e_{2}} … (X − λ_{l})^{e_{l}}

ならば、次のような正則行列 P ∈ M_{n}(k) が存在する。 1. P AP^{−1} は

(\begin{matrix}A_{1} & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & A_{2} & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A_{3} & 0 & … & 0 \\ . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & … & A_{l−1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & … & 0 & A_{l} \end{matrix})

とブロック分割される。

2. 各 A_{i} のサイズは e_{i} である。

3. A_{i} の固有値は λ_{i} ただ一つ (重複度は e_{i} ) のみである。

固有値が (重複度を除いて) ただ一つであるような行列の標準形をあたえれば、行列の標準形が得られることになる。

補題 3. 1. A ∈ M_{n}(k) の固有値が (重複度を除いて) λ ただ一つであって、それが k に属するなら、 A−λE

は巾零である。

2. 巾零行列 N ∈ M_{n}(k) があたえられているとき、ある正則行列 P ∈ M_{n}(k) があって、 P NP^{−1}

P NP^{−1} = (\begin{matrix}N_{1} & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & N_{2} & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & 0 & N_{3} & 0 & … & 0 \\ . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & … & N_{s−1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & … & 0 & N_{s} \end{matrix})

とブロック分割される。ただしここで各 N_{i} は

(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & … & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & … & 0 \\ & & & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \end{matrix})

という行列 (サイズはいろいろあり得る。 ) である。定理 1 (行列のジョルダンの標準形).行列 A ∈ M_{n}(k) の固有多項式が k[X] のなかで一次式の積に分解されるならば、ある正則行列 P ∈ M_{n}(k) があって、 P AP^{−1} は

(\begin{matrix}λ & 1 & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & … & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ & 1 & … & 0 \\ & & & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & … & λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & … & 0 & λ \end{matrix})

のタイプの行列を対角に並べ、あとは 0 であるような行列になる。この行列 P AP^{−1} を A のジョルダンの標準形と呼ぶ。

問題 4.1. つぎの各行列 A ∈ M_{n}(ℂ) にたいし、 P AP^{−1} が A のジョルダンの標準形となるような P と、そのジョルダンの標準形 P AP^{−1} を求めよ。

1.

(\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix})

2.

(\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{matrix})

3.

(\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{matrix})