代数学特論 I 要約 No.4

今日のテーマ:

今回も、$k$ といえば体を指すものとする。

補題 1   $A\in M_n(k)$ が与えられているとする。$k^n$ の直和分解

$$k^n=V\oplus W$$

があって、 $A V\subset V$ かつ $A W \subset W$ をみたすなら、 ある正則行列 $P\in M_n(k)$ があって、$PAP^{-1}$ は

$$PAP^{-1}= \begin{pmatrix} X &0\\ 0 & Y \end{pmatrix}\quad \text{($X,Y$ のサイズはそれぞれ $V,W$ の次元に等しい。)}$$

とブロック分割される。

上の補題と前回までの結果を組み合わせると 次の補題が得られる。

補題 2   $A\in M_n(k)$ が与えられているとする。$A$ の固有多項式 $\Phi_A(X)$ が $k[X]$ のなかで一次式の積に分解される

$$\Phi_A(X)=(X-\lambda_1)^{e_1}(X-\lambda_2)^{e_2}\dots(X-\lambda_l)^{e_l}$$

ならば、 次のような正則行列 $P\in M_n(k)$ が存在する。

1.

$PAP^{-1}$ は

$$\begin{pmatrix} A_1 &0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & A_2 & 0 & \... ...& A_{l-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & A_l \\ \end{pmatrix}$$

とブロック分割される。

2.

各 $A_i$ のサイズは $e_i$ である。

3.

$A_i$ の固有値は $\lambda_i$ ただ一つ(重複度は $e_i$ ) のみである。

固有値が(重複度を除いて)ただ一つであるような行列の標準形をあたえれば、行列の 標準形が得られることになる。

補題 3  

1.

$A\in M_n(k)$ の固有値が(重複度を除いて) $\lambda$ ただ一つであって、 それが $k$ に属するなら、 $A -\lambda E$ は巾零である。

2.

巾零行列 $N\in M_n(k)$ があたえられているとき、 ある正則行列 $P\in M_n(k)$ があって、$PNP^{-1}$

$$PNP^{-1}= \begin{pmatrix} N_1 &0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & N... ... & N_{s-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & N_s\\ \end{pmatrix}$$

とブロック分割される。ただしここで各 $N_i$ は

$$\begin{pmatrix} 0 &1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots... ... & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$$

という行列(サイズはいろいろあり得る。)である。

定理 1 (行列のジョルダンの標準形)   行列 $A\in M_n(k)$ の固有多項式が $k[X]$ のなかで一次式の積に分解されるならば、 ある正則行列 $P\in M_n(k)$ があって、$PAP^{-1}$ は

$$\begin{pmatrix} \lambda &1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & \lambda... ...lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda\\ \end{pmatrix}$$

のタイプの行列を対角に並べ、あとは 0であるような行列になる。 この行列 $PAP^{-1}$ を $A$ のジョルダンの標準形と呼ぶ。

問題 4.1   つぎの各行列 $A\in M_n(\mathbb C)$ にたいし、 $PAP^{-1}$ が $A$ のジョルダンの標準形となるような $P$ と、そのジョルダンの標準形 $PAP^{-1}$ を求めよ。

1.

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

2.

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

3.

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$