next up previous
Next: About this document ...

    

��������� I ���� No.4

�����Υơ���:

\fbox{����Υ��������ɸ���}

����⡢$k$ �Ȥ������Τ�ؤ���ΤȤ��롣

���� 1   $A\in M_n(k)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣$k^n$ ��ľ��ʬ��

\begin{displaymath}k^n=V\oplus W \end{displaymath}

�����äơ� $A V\subset V$ ���� $A W \subset W$ ��ߤ����ʤ顢 ������§���� $P\in M_n(k)$ �����äơ�$PAP^{-1}$ ��

\begin{displaymath}PAP^{-1}= \begin{pmatrix} X &0\\ 0 & Y \end{pmatrix}\quad \text{($X,Y$ �Υ������Ϥ��줾�� $V,W$ �μ�������������)} \end{displaymath}

�ȥ֥��å�ʬ�䤵��롣

������������ޤǤη�̤��Ȥ߹�碌��� �������꤬�����롣

���� 2   $A\in M_n(k)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣$A$ �θ�ͭ¿�༰ $\Phi_A(X)$ �� $k[X]$ �Τʤ��ǰ켡�����Ѥ�ʬ�򤵤��

\begin{displaymath}\Phi_A(X)=(X-\lambda_1)^{e_1}(X-\lambda_2)^{e_2}\dots(X-\lambda_l)^{e_l} \end{displaymath}

�ʤ�С� ���Τ褦����§���� $P\in M_n(k)$ ��¸�ߤ��롣

1.
$PAP^{-1}$ ��

\begin{displaymath}\begin{pmatrix} A_1 &0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & A_2 & 0 & \... ...& A_{l-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & A_l \\ \end{pmatrix}\end{displaymath}

�ȥ֥��å�ʬ�䤵��롣
2.
�� $A_i$ �Υ������� $e_i$ �Ǥ��롣
3.
$A_i$ �θ�ͭ�ͤ� $\lambda_i$ �������(��ʣ�٤� $e_i$ ) �ΤߤǤ��롣

��ͭ�ͤ�(��ʣ�٤������)������ĤǤ���褦�ʹ����ɸ����򤢤�����С������ ɸ����������뤳�Ȥˤʤ롣

���� 3  
1.
$A\in M_n(k)$ �θ�ͭ�ͤ�(��ʣ�٤������) $\lambda$ ������ĤǤ��äơ� ���줬 $k$ ��°����ʤ顢 $A -\lambda E$ �϶����Ǥ��롣
2.
�������� $N\in M_n(k)$ �����������Ƥ���Ȥ��� ������§���� $P\in M_n(k)$ �����äơ�$PNP^{-1}$

\begin{displaymath}PNP^{-1}= \begin{pmatrix} N_1 &0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & N... ... & N_{s-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & N_s\\ \end{pmatrix}\end{displaymath}

�ȥ֥��å�ʬ�䤵��롣�����������dz� $N_i$ ��

\begin{displaymath}\begin{pmatrix} 0 &1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots... ... & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\end{displaymath}

�Ȥ�������(�������Ϥ��������������롣)�Ǥ��롣

���� 1 (����Υ��������ɸ���)   ���� $A\in M_n(k)$ �θ�ͭ¿�༰�� $k[X]$ �Τʤ��ǰ켡�����Ѥ�ʬ�򤵤��ʤ�С� ������§���� $P\in M_n(k)$ �����äơ�$PAP^{-1}$ ��

\begin{displaymath}\begin{pmatrix} \lambda &1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & \lambda... ...lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda\\ \end{pmatrix}\end{displaymath}

�Υ����פι�����гѤ��¤١����Ȥ� 0�Ǥ���褦�ʹ���ˤʤ롣 ���ι��� $PAP^{-1}$ �� $A$ �Υ��������ɸ����ȸƤ֡�

���� 4.1   �Ĥ��γƹ��� $A\in M_n(\mathbb C) $ �ˤ������� $PAP^{-1}$ �� $A$ �Υ��������ɸ����Ȥʤ�褦�� $P$ �ȡ����Υ��������ɸ��� $PAP^{-1}$ ����衣

1.

\begin{displaymath}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\end{displaymath}

2.

\begin{displaymath}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\end{displaymath}

3.

\begin{displaymath}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\end{displaymath}


Yoshifumi Tsuchimoto
2000-10-23