代数学特論 I 小テスト

• 試験はこの面の一問だけである。 (裏面は欠席者のためのレポート問題である。 )

• 持ち込みはなんでも許可。 (ただし他人の迷惑になるものは禁止)。 • 原則として最終的な答えのみが評価の対象となる。

• 計算間違いには十分注意すること。

問題 6.1. A, E ∈ M_{3}(ℂ), B ∈ M_{9}(ℂ) を、

A = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) , E = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}A & A − E & 0 \\ 0 & A & A − E \\ 0 & 0 & A \end{matrix}) で

定義し、さらに ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2} とおく。このとき、 1. A^{3} を求めなさい。

2. A の固有値をすべて求めなさい。

3. Q^{−1}AQ が対角行列であるような正則行列 Q を一つ求めなさい。

4. 上の Q にたいし S = (\begin{matrix}Q & 0 & 0 \\ 0 & Q & 0 \\ 0 & 0 & Q \end{matrix}) とおく。このとき S^{−1}BS を

求めなさい。

5. B の固有値をすべて求めなさい。

6. C = R^{−1}BR がジョルダンの標準型になるような R, C を求めなさい。

7. B のジョルダン分解をしなさい。

レポート問題

1. この面は介護体験等やむを得ない理由で小テストを欠席した人用である。小テスト本番の問題はこの面の裏にあるので注意すること。

2. レポートは考え方まで評価の対象となる場合がある。しっかりした解答を書くこと。

3. 期限は 12 月 4 日の本講義の終了時までとする。

問題 6.2. A, E ∈ M_{3}(ℂ), B ∈ M_{9}(ℂ) を、

A = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{matrix}) , E = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}A & A − E & 0 \\ 0 & A & A − E \\ 0 & 0 & A \end{matrix}) で

定義し、さらに ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2} とおく。このとき、 1. A^{3} を求めなさい。

2. A の固有値をすべて求めなさい。

3. Q^{−1}AQ が対角行列であるような正則行列 Q を一つ求めなさい。

4. 上の Q にたいし S = (\begin{matrix}Q & 0 & 0 \\ 0 & Q & 0 \\ 0 & 0 & Q \end{matrix}) とおく。このとき S^{−1}BS を

求めなさい。

5. B の固有値をすべて求めなさい。

6. C = R^{−1}BR がジョルダンの標準型になるような R, C を求めなさい。

7. B のジョルダン分解をしなさい。

注意

5.1 と 5.2 の差は A の要素が一つだけ ((3,1) 成分が 1 か 2 か) 違うだけである。しかし出てくる答えはかなり異なる。興味のある人は両方を比べてみると良いだろう。